Suite récurrente, calculs asymptotiques

(Oral Centrale)
Soit {x_{0}>0} et : {\forall n\ge0,\;x_{n+1}=x_{n}+\dfrac{1}{x_{n}}}.

  1. Quelle est la nature de la série {\displaystyle\sum_{n\ge0}\dfrac{1}{x_{n}}} ?
  2. Donner une relation entre {x_{n+1}^{2}} et {\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}\dfrac{1}{x_{k}^{2}}}.
    Donner un équivalent de {x_{n}}.
  3. (Plus difficile, ajouté à l’énoncé initial).
    Trouver un développement asymptotique à deux termes de {x_n} quand {n\rightarrow+\infty}.

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