Une suite récurrente paramétrée

(Oral Centrale)
Pour {x\gt0}, soit la suite définie par : {u_0(x)=x\;\text{et}\;u_{n+1}(x)=u_n^2(x)+u_n(x)}On pose alors {v_n(x)=\dfrac{\ln(u_n(x))}{2^n}}.

  1. Montrer que {(u_n(x))_{n\ge0}} est strictement croissante et tend vers {+\infty}.

    Préciser {u_{0}(x)}, {u_{1}(x)}, et {u_{2}(x)}.

  2. Nature de {\displaystyle\sum_{n \geq 0} \left( v_{n+1}(x)\! -\! v_n(x) \right)} converge.
    Montrer : {\exists\,\alpha(x)\in\mathbb{R},\;\alpha(x) – v_n(x) =\text{o}\left( 2^{-n} \right)}Équivalent de {u_n(x)} quand {n\to\infty}?
  3. Montrer que {x\mapsto\alpha(x)} est continue sur {\mathbb{R}^{*}}.

    Développer {\alpha(x)} à la précision {\text{O}\Bigl(\dfrac{1}{x^{4}}\Bigr)}

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