Une suite récurrente paramétrée

(Oral Centrale)
Pour {x\gt0}, soit la suite définie par : {u_0(x)=x\;\text{et}\;u_{n+1}(x)=u_n^2(x)+u_n(x)}On pose alors {v_n(x)=\dfrac{\ln(u_n(x))}{2^n}}.

  1. Montrer que {(u_n(x))_{n\ge0}} est strictement croissante et tend vers {+\infty}.

    Préciser {u_{0}(x)}, {u_{1}(x)}, et {u_{2}(x)}.

  2. Nature de {\displaystyle\sum_{n \geq 0} \left( v_{n+1}(x)\! -\! v_n(x) \right)} converge.
    Montrer : {\exists\,\alpha(x)\in\mathbb{R},\;\alpha(x) - v_n(x) =\text{o}\left( 2^{-n} \right)}Équivalent de {u_n(x)} quand {n\to\infty}?
  3. Montrer que {x\mapsto\alpha(x)} est continue sur {\mathbb{R}^{*}}.

    Développer {\alpha(x)} à la précision {\text{O}\Bigl(\dfrac{1}{x^{4}}\Bigr)}

Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
Pour voir ce contenu, vous devez : Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez : Mathprepa.fr, c'est plus de 2500 exercices et 200 problèmes (tous soigneusement corrigés), un cours complet (maths et info), plus de 400 sujets de concours, etc. dans une présentation fluide et professionnelle adaptée à toutes les tailles d'écrans, pour une souscription de 20€ (un an) ou 30€ (deux ans).