Calcul matriciel
Exercices corrigés sur le thème « Calcul matriciel »

Inversion d’une matrice de Hilbert

Dans cet exercice, on inverse une matrice de Hilbert par la méthode du pivot de Gauss. On reprend ensuite les calculs à l’aide de Python.

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QCM (matrices)

Un questionnaire à choix unique (pour chacune des 18 questions, une seule des 4 réponses proposées est correcte) sur le thème « Matrices ».

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QCM (matrices)

Un questionnaire à choix unique (pour chacune des 9 questions, une seule des 4 réponses proposées est correcte) sur le thème « Matrices ».

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Ordre minimal d’une récurrence linéaire

(Oral Centrale) Si la suite

{u}

vérifie une récurrence linéaire d’ordre

{p}

, on étudie l’ordre minimal

{r}

d’une récurrence linéaire que pourrait vérifier

{u}

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Une algèbre de matrices 3×3

(Oral Centrale) On considère un ensemble

{E}

de matrices carrées d’ordre 3, dépendant de deux paramètres. On montre que

{E}

est une sous-algèbre de

{\mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})}

. On étudie les puissances et la diagonalisabilité des éléments de

{E}

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Matrices magiques et valeurs propres

(Oral Centrale) Pour toute matrice

{A}

magique à coefficients strictement positifs, on montre que 1 est valeur propre dominante et que le sous-espace propre est une droite.

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Puissances d’un endomorphisme de L(E)

(Oral Centrale) On s’intéresse aux puissances de l’endomorphisme de

{\mathcal{L}(E)}

défini par

{f(u)=(au+ua)/2}

, selon les propriétés de l’endomorphisme

{a}

{E}

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Itérations de f(M)=(AM+MA)/2

(Oral Centrale) On se donne une matrice

{A}

carrée d’ordre 3. On étudie les itérations de l’endomorphisme de

{\mathcal{M}_3(\mathbb{K})}

défini par

{f(M)=(AM+MA)/2}

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Itération matricielle et approximation

(Oral Centrale) Soit une matrice carrée

{A}

d’ordre

{n}

, dépendant d’un paramètre

{m}

. On l’inverse, on la diagonalise, et on approche un vecteur propre de

{A}

pour la valeur propre de plus grand module.

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Transposée de la comatrice

(Oral Centrale) On étudie l’application qui à

{x}

complexe associe la transposée de la comatrice de

{xI_n-A}

, où

{A}

est dans

{\mathcal{M}_n(\mathbb{C})}

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L’ensemble des comatrices

(Oral Centrale) Dans cet exercice, on détermine l’ensemble image de l’application qui à une matrice

{A}

{\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})}

associe sa comatrice.

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Rang et positivité d’une matrice symétrique

(Oral Centrale) On considère une matrice symétrique réelle

{M}

obtenue par bordures successives. On détermine des conditions sur les coefficients de

{M}

pour qu’elle soit positive ou définie-positive.

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Décomposition en somme de carrés

(Oral Centrale) Soit

{G}

l’ensemble des éléments de

{\mathbb{K}}

qui peuvent s’écrire comme une somme de

{2^n}

éléments de

{\mathbb{K}}

. Par une récurrence matricielle, on montre que

{G}

est un sous-groupe de

{\mathbb{K}^*}

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Identité matricielle AXB = BXA

(Oral Centrale). Dans

{E=\mathcal{M}_n(\mathbb{K}K)}

, on se donne

{A,B }

telles que

{AXB=BXA}

pour tout

{X}

{E}

. L’objectif de l’exercices est de montrer que

{A}

{B}

sont liées.

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Triplets rectangulaires

(Oral Centrale) On s’intéresse aux triplets

{(x,y,z)}

d’entiers premiers entre eux dans leur ensemble et tels que

{x^2+y^2=z^2}

. On voit une méthode matricielle pour générer un nombre quelconque de solutions.

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Sous-espaces de matrices inversibles

(Oral Centrale) On considère des sous-espaces de

{\mathcal{M}_n(\mathbb{K})}

dont toutes les matrices non nulles sont inversibles. On étudie la dimension maximale d’un tel sous-espace.

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Points entiers sur une hyperbole

(Oral Centrale). On se propose de déterminer tous les points à coordonnées entières sur l’hyperbole d’équation

{x^2-3y^2=1}

. On procède pour cela par itération matricielle à partir de la solution évidente

{(1,0)}

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Un groupe de matrices non inversibles

(Oral Centrale). On définit un sous-ensemble

{G}

de l’ensemble des matrices carrées d’ordre 3. On vérifie que

{G}

est un groupe pour le produit des matrices, mais que les matrices de

{G}

ne sont pas inversibles (au sens habituel) pour le produit.

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Algorithme de Babylone matriciel

Oral Centrale) À partir d’une matrice carrée, on étudie la suite des itérées par la transformation

{A\to(A+A^{-1})/2}

(généralisation matricielle de l’algorithme de Babylone)

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À la manière du déterminant

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{D :E=\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})\to\mathbb{\mathbb{K}}}

non constante.
On suppose que :

{\forall\,(A,B)\in E^2,\;D(AB)=D(A)D(B)}

.
Montrer que

{A\in E}

est inversible

{\Leftrightarrow D(A)\neq 0}

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Projecteur composé de nilpotents

(Oral Mines-Ponts)
Pour

{1\le i,j,k\le n}

, soit

{a_{ij}^{(k)}=\begin{cases}1\text{\ si\ }i=j+k\\0\text{\ sinon}\end{cases}}

Soit

{A_{k}=\left(a_{ij}^{(k)}\right)_{1\leq i,j\leq n}}

. Calculer

{M_k=A_{k}^{\top}A_{k}}

.
Soit

{p\neq \text{Id}}

un projecteur de

{\mathbb{R}^{n}}

. Montrer que

{p}

est la composée de deux endomorphismes nilpotents.

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Racines carrées d’une matrice

(Oral CCInp)
On détermine les racines carrées de

{A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\0 & 1 & 2 \\0 & 0 & 1\end{pmatrix}}

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Sous-espace de matrices de rang borné

(Oral Centrale)
Soit

{\mathcal{V}}

un sous-espace de

{\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}

contenant

{\begin{pmatrix}I_{r} & 0 \\0 &0\end{pmatrix}}

.
On suppose :

{\forall\,M\in\mathcal{V},\;\textrm{rg}(M)\le r}

.
Montrer que

{\dim \mathcal{V}\leq nr}

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Conditions suffisantes d’inversibilité

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{A=(a_{i,j})\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})}

.
Pour

{i\in \lbrack\lbrack 1,n]]}

, on note

{L_{i}=\displaystyle\displaystyle\sum\limits_{k\neq i}|a_{i,k}|}

.
On suppose

{|a_{i,i}|>L_{i}}

pour tout

{i}

.
Montrer que

{A}

est inversible.
On suppose

{|a_{i,i}a_{j,j}|>L_{i}L_{j}}

pour tous

{i\neq j}

.
Montrer là encore que

{A}

est inversible.

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Combinaisons de matrices nilpotentes

(Oral Mines-Ponts & Ensam)
Soient

{A,B}

dans

{\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})}

: la matrice

{A+tB}

est-elle nilpotente? Réciproquement, s’il existe des

{t_k}

distincts tels que

{A+t_kB}

soit nilpotente, les matrices

{A,B}

sont-elles nilpotentes?

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Commutant de A quand A^2=0

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{A\in \mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})}

non nulle telle que

{A^{2}=0}

.
Déterminer la dimension de

{\mathcal{C}_{A}=\{M\in \mathcal{M}_{3}(\mathbb{R}),\;AM=MA\}}

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Connaissant AB, calculer BA

(Oral Centrale)
Soient

{A\in{\mathcal M}_{3,2}(\mathbb{R})}

{B\in{\mathcal M}_{2,3}(\mathbb{R})}

.
On suppose que

{AB =\begin{pmatrix}0&-1&-1\\-1&0&-1\\1&1&2\end{pmatrix}}

.
Calculer

{BA}

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Produit de Kronecker

(Oral Centrale 2018)
Dans

{\mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})}

on pose :

{F(A,B)=\begin{pmatrix}aB & bB \\ cB & dB\end{pmatrix}\text{\ quand\ }A=\begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix}}

Montrer que

{F(A,B)F(A',B')=F(AA',BB')}

.
Donner le rang, la trace, le déterminant de

{F(A,B)}

.
A-t-on

{A,B}

diagonalisables

{\Rightarrow F(A,B)}

diagonalisable? Réciproque?

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Puissances de matrices stochastiques

(Oral Centrale 2018)
Soit

{A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R^+})}

, où

{n\ge2}

{\forall i,\;\displaystyle\sum\limits_{j=1}^{n}a_{ij}=1}

.
Montrer que la suite

{(A^{k})_{k\ge0}}

converge.

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Matrices annulant un polynôme donné

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{P\in\mathbb{R}[X]}

non constant et

{n\in\mathbb{N}^{*}}

.
Existe-t-il toujours

{M\!\in\!\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}

telle que

{P(M)\!=\!0}

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Déterminant et trace de la transposition

(Oral Mines-Ponts 2018)
Déterminant et trace de

{u\in\mathcal{L}(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}))}

défini par

{u(M)=M^{T}}

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Trace et formes linéaires

(Oral Mines-Ponts 2018)
Caractériser les formes linéaires

{\varphi}

sur

{\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})}

telles que

{\varphi (MN)=\varphi (NM)}

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Vect des matrices nilpotentes

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{n\geq 2}

, et

{\mathcal{N}=\{M\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}),\;M^{n}=0\}}

. Déterminer Vect

{(\mathcal{N})}

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4A³+2A²+A=0, avec A ∈ Mn(ℤ)

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{Z})}

avec

{4A^{3}+2A^{2}+A=0}

. Que dire de

{A}

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Suites polynomiales d’entiers

(Oral Centrale Mp)
Caractérisation des « suites polynomiales d’entiers »

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Puissances et racines de matrices

(Oral Centrale Mp)
Pour

{A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{K})}

, calcul de

{A^n,\,n\in\mathbb{Z}}

{A^{1/n}}

, de

{\exp(A)}

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G_n

des pgcd(i,j). Théorème de Smith. Décomposition de

G_n

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Produit de Hadamard dans S_n,+(ℝ)

(Oral X-Cachan)
Un exercice sur le produit de Hadamard dans

{S_n^+(\mathbb{R})}

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