Exercice (oral Centrale/Supélec)
Une matrice {A} de {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})} est dite « magique strictement positive » si ses coefficients sont dans {\mathbb{R}^{+*}} et si la somme des coefficients de chaque ligne et de chaque colonne est constante (valeur notée {\sigma(A)}).
Il est clair que la transposée {{}^{t} A} d’une telle matrice possède les mêmes propriétés.
Par exemple {A=\begin{pmatrix}16&3&2&13\\5&10&11&8\\9&6&7&12\\4&15&14&1 \end{pmatrix}} est magique strictement positive, avec {\sigma(A)=34}.
Dans cet exercice, on se donne une matrice magique strictement positive {A} d’ordre {n}.
On va établir que {\sigma(A)} (noté simplement {\sigma}) est une valeur propre dominante de {A}, et que le sous-espace propre associé est une droite vectorielle.
Pour cela, on se donne {\lambda} dans {\text{Sp}(A)}. Soit {X=(x_{i})} dans {\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{C})} un vecteur propre associé à {\lambda}.
On note {U} le vecteur colonne (élément de {\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})}) dont tous les coefficients valent {1}.
| Question 1 Vérifier que {\sigma\in\text{Sp}(A)}, et que {\left|\lambda\right|\le \sigma}. Indication : choisir {i_{0}} tel que {\left|x_{i_{0}}\right|=\displaystyle\max_{1\le i\le n}\left|x_{i}\right|}. |
| Question 2 Dans cette question, on suppose {\lambda\ne\sigma}. Montrer que {\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{i}=0}. |
Dans la question 3, on suppose {\left|\lambda\right|=\sigma}.
| Question 3.a Soit {z_{1},\ldots,z_{n}} dans {\mathbb{C}}. Montrer l’équivalence: {\begin{array}{l}\Bigl|\displaystyle\sum_{k=1}^{n}z_{k}\Big|=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\left|z_{k}\right|\\[12pt]\Leftrightarrow\Bigl(\exists\theta\in\mathbb{R},\;\forall\, k\in[[ 1,n]],\;z_{k}=\text{e}^{i\theta}\left|z_{k}\right|\Bigr)\end{array}} |
| Question 3.b Montrer : {\exists\,\theta\in\mathbb{R},\;\forall\, i\in\{1,\ldots,n\},\;x_{i}=\text{e}^{i\theta}\left|x_{i}\right|}. En déduire que nécessairement {\lambda=\sigma}. |
Dans la question 4, on suppose {\lambda=\sigma}.
| Question 4.a Montrer que {\forall\, i\in\{1,\ldots,n\},\; x_{i}\ne0}. |
| Question 4.b En déduire que le sous-espace propre de {A} pour {\sigma} est la droite engendrée par {U}. |
| Question 5 Diagonaliser la matrice {A} donnée en préambule. |