Matrices magiques et valeurs propres

Exercice (oral Centrale/Supélec)

Une matrice {A} de {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})} est dite « magique strictement positive » si ses coefficients sont dans {\mathbb{R}^{+*}} et si la somme des coefficients de chaque ligne et de chaque colonne est constante (valeur notée {\sigma(A)}).

Il est clair que la transposée {{}^{t} A} d’une telle matrice possède les mêmes propriétés.

Par exemple {A=\begin{pmatrix}16&3&2&13\\5&10&11&8\\9&6&7&12\\4&15&14&1 \end{pmatrix}} est magique strictement positive, avec {\sigma(A)=34}.

Dans cet exercice, on se donne une matrice magique strictement positive {A} d’ordre {n}.

On va établir que {\sigma(A)} (noté simplement {\sigma}) est une valeur propre dominante de {A}, et que le sous-espace propre associé est une droite vectorielle.

Pour cela, on se donne {\lambda} dans {\text{Sp}(A)}. Soit {X=(x_{i})} dans {\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{C})} un vecteur propre associé à {\lambda}.

On note {U} le vecteur colonne (élément de {\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})}) dont tous les coefficients valent {1}.

Question 1
Vérifier que {\sigma\in\text{Sp}(A)}, et que {\left|\lambda\right|\le \sigma}.
Indication : choisir {i_{0}} tel que {\left|x_{i_{0}}\right|=\displaystyle\max_{1\le i\le n}\left|x_{i}\right|}.
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Question 2
Dans cette question, on suppose {\lambda\ne\sigma}.
Montrer que {\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{i}=0}.
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Dans la question 3, on suppose {\left|\lambda\right|=\sigma}.

Question 3.a
Soit {z_{1},\ldots,z_{n}} dans {\mathbb{C}}. Montrer l’équivalence: {\begin{array}{l}\Bigl|\displaystyle\sum_{k=1}^{n}z_{k}\Big|=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\left|z_{k}\right|\\[12pt]\Leftrightarrow\Bigl(\exists\theta\in\mathbb{R},\;\forall\, k\in[[ 1,n]],\;z_{k}=\text{e}^{i\theta}\left|z_{k}\right|\Bigr)\end{array}}
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Question 3.b
Montrer : {\exists\,\theta\in\mathbb{R},\;\forall\, i\in\{1,\ldots,n\},\;x_{i}=\text{e}^{i\theta}\left|x_{i}\right|}.
En déduire que nécessairement {\lambda=\sigma}.
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Dans la question 4, on suppose {\lambda=\sigma}.

Question 4.a
Montrer que {\forall\, i\in\{1,\ldots,n\},\; x_{i}\ne0}.
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Question 4.b
En déduire que le sous-espace propre de {A} pour {\sigma} est la droite engendrée par {U}.
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Question 5
Diagonaliser la matrice {A} donnée en préambule.
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