Un groupe de matrices non inversibles

Exercice (oral Centrale/Supélec)

Pour tout réel {a}, on pose: {\forall\,a\in\mathbb{R},\;M(a)=\begin{pmatrix} -3 & 9a & -4+3a \\ -1 & 1+3a & -1+a \\ 3 & -9a & 4-3a \end{pmatrix}}On note {\mathcal{G}=\{ M(a), a \in \mathbb{R} \}}.

Question 1
Montrer que {\mathcal{G}} possède une structure de groupe pour la multiplication matricielle.
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Question 2
Déterminer la nature géométrique et les éléments caractéristiques de {J=M(0)}.
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Question 3
Montrer qu’il existe {P} inversible telle que : {\forall\, a\in\mathbb{R},\;P^{-1}AP=\begin{pmatrix}1&a&0\\ 0&1&0\\ 0&0&0 \end{pmatrix}}
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