QCM (déterminants)
Un questionnaire sur le thème « Déterminants ». Pour chacune des 21 questions, une seule des 4 réponses proposées est correcte.
Déterminants
Série entière et matrice circulante
(Oral Centrale) On définit une famille de séries entières, base de l’espace des solutions de {y^{(n)}=y}. On calcule un déterminant circulant associé.
Une matrice de Vandermonde
(Oral Centrale) On considère la matrice de Vandermonde {V}, carrée d’ordre {n}, dont le terme général est {W_n=\omega^{(k-1)(\ell-1)}}, avec {\omega=\exp(2i\pi/n)}. On calcule {\det(V)} et on diagonalise{V^2}.
Transposée de la comatrice
(Oral Centrale) On étudie l’application qui à {x} complexe associe la transposée de la comatrice de {xI_n-A}, où {A} est dans {\mathcal{M}_n(\mathbb{C})}
L’ensemble des comatrices
(Oral Centrale) Dans cet exercice, on détermine l’ensemble image de l’application qui à une matrice {A} de {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})} associe sa comatrice.
Autour du produit de Kronecker
Oral Centrale) On rappelle la définition du produit de Kronecker {A\otimes B} de deux matrices, et on étudie l’existence d’une solution {M} à l’équation {AM = q MA}.
Déterminants et polynômes
(Oral Centrale). Soit {\Delta} le déterminant d’ordre {m} de terme général {P(j-i)}, où {P} est un polynôme unitaire de degré {n}. On calcule {\Delta} selon la valeur de {m}.
Sous-espaces de matrices inversibles
(Oral Centrale) On considère des sous-espaces de {\mathcal{M}_n(\mathbb{K})} dont toutes les matrices non nulles sont inversibles. On étudie la dimension maximale d’un tel sous-espace.
Matrices extrémales à coeffs dans [-1,1]
(Oral Centrale) Parmi les matrices carrées {A} de taille n telles que {|a_{i,j}|\le1}, on s’intéresse aux matrices dites extrémales, c’est-à-dire qui maximisent {|\det(A)|}. On voit comment former de telles matrices pour certaines valeurs de {n}.
Espérance d’un déterminant
(Oral Mines-Ponts)
Soit {A=(a_{i,j})_{1\leq i_{j}\leq n}}, où les {a_{i,j}} sont des v.a.r. mutuellement indépendantes d’espérance finie.
Montrer : {E(\det A)=\det ((E(a_{i,j}))_{1\leq i,j\leq n})}.
On suppose que les {a_{i,j}} suivent toutes la même loi. Soit {x\in \mathbb{R}}. Calculer {E(\chi_{A}(x))}.
Soit {A=(a_{i,j})_{1\leq i_{j}\leq n}}, où les {a_{i,j}} sont des v.a.r. mutuellement indépendantes d’espérance finie.
Montrer : {E(\det A)=\det ((E(a_{i,j}))_{1\leq i,j\leq n})}.
On suppose que les {a_{i,j}} suivent toutes la même loi. Soit {x\in \mathbb{R}}. Calculer {E(\chi_{A}(x))}.
Indépendance d’une famille de fonctions
(Oral Mines-Ponts)
Soit {(f_{1},\ldots,f_{n})} une famille de fonctions de {\mathbb{R}} dans {\mathbb{R}}. Montrer qu’elle est libre si et seulement s’il existe {n} réels {x_{1},\ldots,x_{n}} tels que la matrice des {f_{i}(x_{j})} soit inversible dans {\mathcal{M}_n(\mathbb{R})}.
Soit {(f_{1},\ldots,f_{n})} une famille de fonctions de {\mathbb{R}} dans {\mathbb{R}}. Montrer qu’elle est libre si et seulement s’il existe {n} réels {x_{1},\ldots,x_{n}} tels que la matrice des {f_{i}(x_{j})} soit inversible dans {\mathcal{M}_n(\mathbb{R})}.
Résolution d’un système tridiagonal
(Oral Centrale Mp)
Résolution itérative d’un système linéaire tridiagonal
Résolution itérative d’un système linéaire tridiagonal
Déterminant et polynômes
(Oral Centrale Mp)
Soit n\in\mathbb{N}, et {P_{n,j}(x)=(1-x)^{j}(1+x)^{n-j}=\displaystyle\sum_{i=0}^{n}a_{n,i,j}x^{i}} pour 0\le j\le n.
On étudie la matrice des coefficients a_{n,i,j} et on calcule son déterminant.
Soit n\in\mathbb{N}, et {P_{n,j}(x)=(1-x)^{j}(1+x)^{n-j}=\displaystyle\sum_{i=0}^{n}a_{n,i,j}x^{i}} pour 0\le j\le n.
On étudie la matrice des coefficients a_{n,i,j} et on calcule son déterminant.
Déterminant de la matrice des ppcm(i,j)
(Oral Centrale Mp)
La matrice M des ppcm(i,j). Décomposition puis déterminant de M.
La matrice M des ppcm(i,j). Décomposition puis déterminant de M.
Déterminant de la matrice des pgcd(i,j)
Déterminants par blocs
Cinq exercices sur le thème « déterminants par blocs »
Déterminants divers
Exercices sur le thème « déterminants divers »
Déterminants et coeffs binomiaux
Exercices sur le thème « déterminants et coefficients binomiaux »
Déterminants d’ordre n+1 (2/2)
Exercices sur le thème « déterminants d’ordre n+1 » (2/2)
Déterminants d’ordre n+1 (1/2)
Exercices sur le thème « déterminants d’ordre n+1 » (1/2)