QCM (déterminants)
Un questionnaire sur le thème « Déterminants ». Pour chacune des 21 questions, une seule des 4 réponses proposées est correcte.
Déterminants
Série entière et matrice circulante
(Oral Centrale) On définit une famille de séries entières, base de l’espace des solutions de {y^{(n)}=y}. On calcule un déterminant circulant associé.
Une matrice de Vandermonde
(Oral Centrale) On considère la matrice de Vandermonde {V}, carrée d’ordre {n}, dont le terme général est {W_n=\omega^{(k-1)(\ell-1)}}, avec {\omega=\exp(2i\pi/n)}. On calcule {\det(V)} et on diagonalise{V^2}.
Transposée de la comatrice
(Oral Centrale) On étudie l’application qui à {x} complexe associe la transposée de la comatrice de {xI_n-A}, où {A} est dans {\mathcal{M}_n(\mathbb{C})}
L’ensemble des comatrices
(Oral Centrale) Dans cet exercice, on détermine l’ensemble image de l’application qui à une matrice {A} de {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})} associe sa comatrice.
Autour du produit de Kronecker
Oral Centrale) On rappelle la définition du produit de Kronecker {A\otimes B} de deux matrices, et on étudie l’existence d’une solution {M} à l’équation {AM = q MA}.
Déterminants et polynômes
(Oral Centrale). Soit {\Delta} le déterminant d’ordre {m} de terme général {P(j-i)}, où {P} est un polynôme unitaire de degré {n}. On calcule {\Delta} selon la valeur de {m}.
Sous-espaces de matrices inversibles
(Oral Centrale) On considère des sous-espaces de {\mathcal{M}_n(\mathbb{K})} dont toutes les matrices non nulles sont inversibles. On étudie la dimension maximale d’un tel sous-espace.
Matrices extrémales à coeffs dans [-1,1]
(Oral Centrale) Parmi les matrices carrées {A} de taille n telles que {|a_{i,j}|\le1}, on s’intéresse aux matrices dites extrémales, c’est-à-dire qui maximisent {|\det(A)|}. On voit comment former de telles matrices pour certaines valeurs de {n}.
Espérance d’un déterminant
(Oral Mines-Ponts)
Soit {A=(a_{i,j})_{1\leq i_{j}\leq n}}, où les {a_{i,j}} sont des v.a.r. mutuellement indépendantes d’espérance finie.
Montrer : {E(\det A)=\det ((E(a_{i,j}))_{1\leq i,j\leq n})}.
On suppose que les {a_{i,j}} suivent toutes la même loi. Soit {x\in \mathbb{R}}. Calculer {E(\chi_{A}(x))}.
Soit {A=(a_{i,j})_{1\leq i_{j}\leq n}}, où les {a_{i,j}} sont des v.a.r. mutuellement indépendantes d’espérance finie.
Montrer : {E(\det A)=\det ((E(a_{i,j}))_{1\leq i,j\leq n})}.
On suppose que les {a_{i,j}} suivent toutes la même loi. Soit {x\in \mathbb{R}}. Calculer {E(\chi_{A}(x))}.
Indépendance d’une famille de fonctions
(Oral Mines-Ponts)
Soit {(f_{1},\ldots,f_{n})} une famille de fonctions de {\mathbb{R}} dans {\mathbb{R}}. Montrer qu’elle est libre si et seulement s’il existe {n} réels {x_{1},\ldots,x_{n}} tels que la matrice des {f_{i}(x_{j})} soit inversible dans {\mathcal{M}_n(\mathbb{R})}.
Soit {(f_{1},\ldots,f_{n})} une famille de fonctions de {\mathbb{R}} dans {\mathbb{R}}. Montrer qu’elle est libre si et seulement s’il existe {n} réels {x_{1},\ldots,x_{n}} tels que la matrice des {f_{i}(x_{j})} soit inversible dans {\mathcal{M}_n(\mathbb{R})}.
Résolution d’un système tridiagonal
(Oral Centrale Mp)
Résolution itérative d’un système linéaire tridiagonal
Résolution itérative d’un système linéaire tridiagonal
Déterminant et polynômes
(Oral Centrale Mp)
Soit n\in\mathbb{N}, et {P_{n,j}(x)=(1-x)^{j}(1+x)^{n-j}=\displaystyle\sum_{i=0}^{n}a_{n,i,j}x^{i}} pour 0\le j\le n.
On étudie la matrice des coefficients a_{n,i,j} et on calcule son déterminant.
Soit n\in\mathbb{N}, et {P_{n,j}(x)=(1-x)^{j}(1+x)^{n-j}=\displaystyle\sum_{i=0}^{n}a_{n,i,j}x^{i}} pour 0\le j\le n.
On étudie la matrice des coefficients a_{n,i,j} et on calcule son déterminant.
Déterminant de la matrice des ppcm(i,j)
(Oral Centrale Mp)
La matrice M des ppcm(i,j). Décomposition puis déterminant de M.
La matrice M des ppcm(i,j). Décomposition puis déterminant de M.
Déterminant de la matrice des pgcd(i,j)
Déterminants par blocs
Cinq exercices sur le thème « déterminants par blocs »
Déterminants divers
Exercices sur le thème « déterminants divers »
Déterminants et coeffs binomiaux
Exercices sur le thème « déterminants et coefficients binomiaux »
Déterminants d’ordre n+1 (2/2)
Exercices sur le thème « déterminants d’ordre n+1 » (2/2)
Déterminants d’ordre n+1 (1/2)
Exercices sur le thème « déterminants d’ordre n+1 » (1/2)
Déterminants d’ordre n (3/3)
Exercices sur le thème « déterminants d’ordre n » (3/3)
Déterminants d’ordre n (2/3)
Exercices sur le thème « déterminants d’ordre n » (2/3)
Déterminants d’ordre n (1/3)
Exercices sur le thème « déterminants d’ordre n » (1/3)
Encore quelques déterminants
Encore quelques déterminants, d’ordre 3 à 6, cette fois…
Déterminants d’ordre 3 ou 4 (3/3)
Exercices sur le thème « déterminants d’ordre 3 ou 4 » (3/3)
Déterminants d’ordre 3 ou 4 (2/3)
Exercices sur le thème « déterminants d’ordre 3 ou 4 » (2/3)
Déterminants d’ordre 3 ou 4 (1/3)
Exercices sur le thème « déterminants d’ordre 3 ou 4 » (1/3)
Distance à un sous-espace
Dans un espace euclidien E, on introduit la notion de matrice de Gram d’une famille de vecteurs.
On voit ensuite comment la distance d’un vecteur x à un sous espace F de E s’exprime comme le quotient des déterminants de deux matrices de Gram.
On voit ensuite comment la distance d’un vecteur x à un sous espace F de E s’exprime comme le quotient des déterminants de deux matrices de Gram.
Condition de non diagonalisabilité
Dire pour quel(s) {a} la matrice {A=\begin{pmatrix}2&1&-2\\ 1&a&-1\\ 1&1&-1\end{pmatrix}} n’est pas diagonalisable.
Polynôme caractéristique de M-1
Soit {M} une matrice de {{\mathcal M}_n(\mathbb{K})}, inversible.
Exprimer le polynôme caractéristique de {M^{-1}} en fonction de celui de {M}.
Exprimer le polynôme caractéristique de {M^{-1}} en fonction de celui de {M}.
Polynômes caractéristiques de AB et BA
Soient {A} et {B} deux matrices de {{\mathcal M}_n(\mathbb{K})}.
Montrer que {AB} et {BA} ont le même polynôme caractéristique.
Montrer que {AB} et {BA} ont le même polynôme caractéristique.
Rang d’une matrice à paramètre
Calculer le rang de {A=}{\begin{pmatrix}a^2 & a & 2 & 2a \\a & a^2 & 2a & 2 \\2 & 2a & a^2 & a \\2a & 2 & a & a^2\end{pmatrix}}
Déterminant et produit de Kronecker
Pour {A=\begin{pmatrix}a&b\cr c&d\end{pmatrix}\in\mathcal{M}_2(\mathbb{K})}, {M\in{\mathcal M}_n(\mathbb{K})}, soit {A\otimes M=\begin{pmatrix}aM&bM\cr cM&dM\end{pmatrix}}.
Établir que {\det(A\otimes M)=(\det A)^n(\det M)^2}
Déterminant par blocs
Soit {M,N,P,Q} dans {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})}, avec PQ=QP.
Montrer que {\det\begin{pmatrix}M&N\\ P&Q \end{pmatrix}=\det(MQ-NP)}.
Montrer que {\det\begin{pmatrix}M&N\\ P&Q \end{pmatrix}=\det(MQ-NP)}.
Déterminant et racines d’un polynôme
(Oral Ccp)
On calcule un déterminant d’ordre n dont les coefficients diagonaux sont fonctions des racines (toutes distinctes) du polynôme {P_{n}=X^{n}-X+1}.
On calcule un déterminant d’ordre n dont les coefficients diagonaux sont fonctions des racines (toutes distinctes) du polynôme {P_{n}=X^{n}-X+1}.
Diagonalisabilité d’une matrice 4×4
(Oral Centrale)
Diagonalisabilité de {\begin{pmatrix}a & -b & -c & -d \\ b & a & -d & c \\ c & d & a & -b \\d & -c & b & a\end{pmatrix}} où {bcd\neq 0}.
Diagonalisabilité de {\begin{pmatrix}a & -b & -c & -d \\ b & a & -d & c \\ c & d & a & -b \\d & -c & b & a\end{pmatrix}} où {bcd\neq 0}.
Indépendance de formes linéaires
(Oral Centrale)
Soit {(f_{1},\ldots ,f_{p})} des formes linéaires sur {E}, avec \dim(E)=p. Montrer i)\Leftrightarrow ii)\Leftrightarrow iii) :
i) la famille {(f_{1},\ldots,f_{p})} est libre;
ii) {\varphi :x\in E\mapsto(f_{1}(x),\ldots,f_{p}(x))} est surjective;
iii) {\exists\, (x_{1},\ldots,x_{p})\in E^{p}}, {\det(f_{i}(x_{j}))_{1\leq i,j\leq p}\neq 0}.
Soit {(f_{1},\ldots ,f_{p})} des formes linéaires sur {E}, avec \dim(E)=p. Montrer i)\Leftrightarrow ii)\Leftrightarrow iii) :
i) la famille {(f_{1},\ldots,f_{p})} est libre;
ii) {\varphi :x\in E\mapsto(f_{1}(x),\ldots,f_{p}(x))} est surjective;
iii) {\exists\, (x_{1},\ldots,x_{p})\in E^{p}}, {\det(f_{i}(x_{j}))_{1\leq i,j\leq p}\neq 0}.
Vandermonde, le retour
(Oral École Navale)
Calculer {\det(M)}, où {m_{i,j}=j(a_{i}^{j-2}+a_{i}^{j-1})} si {2\le j\le n}, et {m_{i1}=1}.
Calculer {\det(M)}, où {m_{i,j}=j(a_{i}^{j-2}+a_{i}^{j-1})} si {2\le j\le n}, et {m_{i1}=1}.
Déterminant puis valeurs propres
(Oral Mines-Ponts)
Soit {A_{n}\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})} définie par {a_{i,j} = 1} si {|i- j| = 1}, et {a_{i,j}=0} sinon.
Calculer {\Delta_{n}(\theta)=\det(2\cos(\theta)I_{n}-A_{n})}. En déduire {\text{Sp}(A_{n})}.
Soit {A_{n}\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})} définie par {a_{i,j} = 1} si {|i- j| = 1}, et {a_{i,j}=0} sinon.
Calculer {\Delta_{n}(\theta)=\det(2\cos(\theta)I_{n}-A_{n})}. En déduire {\text{Sp}(A_{n})}.
Diagonalisation et déterminant
(Oral Mines-Ponts et Ensam)
Soit {M = (m_{i,j})\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})} où {m_{i,i} = a} pour {i\in[[1,n]]} et {m_{i,j} = b} si {i\ne j}.
La matrice {M} est-elle diagonalisable ? Donner ses valeurs propres. Quelles sont les dimensions de ses sous-espaces propres ? Calculer {\det(M)}.
Soit {M = (m_{i,j})\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})} où {m_{i,i} = a} pour {i\in[[1,n]]} et {m_{i,j} = b} si {i\ne j}.
La matrice {M} est-elle diagonalisable ? Donner ses valeurs propres. Quelles sont les dimensions de ses sous-espaces propres ? Calculer {\det(M)}.
Déterminant positif, par blocs
(Oral Mines-Ponts)
Soient {A, B\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})} et {M=\begin{pmatrix}A&-B\\ B&A\end{pmatrix}}.
Montrer que {\det(M)\ge 0}.
Soient {A, B\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})} et {M=\begin{pmatrix}A&-B\\ B&A\end{pmatrix}}.
Montrer que {\det(M)\ge 0}.
Conditions impliquant det(x A + y B)=0
](Oral Mines-Ponts)
Soit {A,B\in{\mathcal M}_{3}(\mathbb{R})}, avec {\det(A)=\det(B)=\det(A\!+\!B)=\det(A\!-\!B)=0}.
Calculer {\det(xA+yB)} pour tous réels {x,y}.
Soit {A,B\in{\mathcal M}_{3}(\mathbb{R})}, avec {\det(A)=\det(B)=\det(A\!+\!B)=\det(A\!-\!B)=0}.
Calculer {\det(xA+yB)} pour tous réels {x,y}.
Un déterminant tridiagonal
(Oral Mines-Ponts)
On définit {M_{n}\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})} par {m_{i,i}=\dfrac{a}{b}}, {m_{i,i+1}=a}, {m_{i+1,i}=\dfrac{1}{b}} (et {0} sinon).
Calculer le déterminant \Delta_n de {M_{n}}.
On définit {M_{n}\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})} par {m_{i,i}=\dfrac{a}{b}}, {m_{i,i+1}=a}, {m_{i+1,i}=\dfrac{1}{b}} (et {0} sinon).
Calculer le déterminant \Delta_n de {M_{n}}.
Déterminant et Chebyshev
Calcul d’un déterminant d’ordre n
(Oral Mines-Ponts)
Calculer {\det(M)}, pour {M\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})}, avec {m_{i,j}=\dfrac{a_{i}}{a_{j}}+\dfrac{a_{j}}{a_{i}}}
Calculer {\det(M)}, pour {M\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})}, avec {m_{i,j}=\dfrac{a_{i}}{a_{j}}+\dfrac{a_{j}}{a_{i}}}
Produit scalaire et déterminant
(Oral Ccp)
Soit {A\in\text{GL}_{n}(\mathbb{R})}. Montrer que : {\forall x\in\mathbb{R},\;1 +\left(x \mid A^{-1}x\right) =\dfrac{\det(x\,{x}^{\top}+A)}{\det(A)}}.
Soit {A\in\text{GL}_{n}(\mathbb{R})}. Montrer que : {\forall x\in\mathbb{R},\;1 +\left(x \mid A^{-1}x\right) =\dfrac{\det(x\,{x}^{\top}+A)}{\det(A)}}.
Calcul de déterminant en Python
(Oral Centrale)
Soit {A_n=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}} avec {a_{i,j}=(-1)^{\max(i,j)}}. Calculer {\det(A_n)}.
Soit {A_n=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}} avec {a_{i,j}=(-1)^{\max(i,j)}}. Calculer {\det(A_n)}.
Deux déterminants reliés
(Oral X-Cachan)
Avec A,M dans \mathcal{M}_4(\mathbb{K}), on calcule AM et \det(A) pour en déduire \det(M).
Avec A,M dans \mathcal{M}_4(\mathbb{K}), on calcule AM et \det(A) pour en déduire \det(M).
Égalité matricielle et déterminant
(Oral Ensam)
Soit {A\in{\mathcal M}_n(\mathbb{R})} telle que {A^3+A-I_n=0}. Montrer que {\det(A)>0}.
Soit {A\in{\mathcal M}_n(\mathbb{R})} telle que {A^3+A-I_n=0}. Montrer que {\det(A)>0}.
Le cousin de Vandermonde
(Oral Centrale)
Soit {(a,b,c,d)\in\mathbb{K}^4}. Calculer le déterminant {\begin{vmatrix}1&a&a^2&a^4\\1&b&b^2&b^4\\1&c&c^2&c^4\\1&d&d^2&d^4\end{vmatrix}}.
Soit {(a,b,c,d)\in\mathbb{K}^4}. Calculer le déterminant {\begin{vmatrix}1&a&a^2&a^4\\1&b&b^2&b^4\\1&c&c^2&c^4\\1&d&d^2&d^4\end{vmatrix}}.