Exercice (oral Centrale/Supélec)
Dans tout l’exercice, {P\in\mathbb{K}[X]} désigne un polynôme unitaire de degré {n\ge0}.
Pour tout {m} de {\mathbb{N}^{*}}, on note {A_{m}(P)} la matrice carrée d’ordre {m} et de terme général {a_{i,j}=P(j-i)}.
On note {\Delta_{m}(P)} le déterminant de {A_{m}(P)}.
Soit {\delta} l’endomorphisme de {\mathbb{K}[X]} défini par :{\delta(U)(X)=U(X+1)-U(X)}On note : {\delta^{0}=\text{Id}} et {\forall\,k\in\mathbb{N},\;\delta^{k+1}=\delta\circ\delta^{k}}
| Question 1 Préciser le terme dominant du polynôme {\delta(P)}. Que dire du polynôme {\delta^{n}(P)?} |
| Question 2 Donner une expression développée de {\delta^{m}(P)(X)}. Quelles égalités obtient-on si {m=n} ou si {m>n}? |
| Question 3 Montrer que si {m>n} alors {\Delta_{m+1}(P)=0}. |
| Question 4 Montrer que {\Delta_{n+1}(P)=(n!)^{n+1}}. |