Déterminants et polynômes

Exercice (oral Centrale/Supélec)

Dans tout l’exercice, {P\in\mathbb{K}[X]} désigne un polynôme unitaire de degré {n\ge0}.

Pour tout {m} de {\mathbb{N}^{*}}, on note {A_{m}(P)} la matrice carrée d’ordre {m} et de terme général {a_{i,j}=P(j-i)}.

On note {\Delta_{m}(P)} le déterminant de {A_{m}(P)}.

Soit {\delta} l’endomorphisme de {\mathbb{K}[X]} défini par :{\delta(U)(X)=U(X+1)-U(X)}On note : {\delta^{0}=\text{Id}} et {\forall\,k\in\mathbb{N},\;\delta^{k+1}=\delta\circ\delta^{k}}

Question 1
Préciser le terme dominant du polynôme {\delta(P)}.
Que dire du polynôme {\delta^{n}(P)?}
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Question 2
Donner une expression développée de {\delta^{m}(P)(X)}.
Quelles égalités obtient-on si {m=n} ou si {m>n}?
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Question 3
Montrer que si {m>n} alors {\Delta_{m+1}(P)=0}.
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Question 4
Montrer que {\Delta_{n+1}(P)=(n!)^{n+1}}.
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