Exercice (oral Centrale/Supélec)
Si {A} est dans {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})}, on note {\text{Com}(A)} sa comatrice.
On va étudier le rang de {\text{Com}(A)} en fonction de celui de {A}, et l’image de l’application {A\mapsto \text{Com}(A)}.
On note {J_r} la matrice diagonale de {\mathcal{M}_n(\mathbb{C})} telle que : {\begin{cases} \forall\, i\in\llbracket 1,r\rrbracket,\; [J_{r}]_{i,i}=1\\[3pt]\forall\, i\in\llbracket r+1,n\rrbracket,\; [J_{r}]_{i,i}=0 \end{cases}}
| Question 1.a Calculer {\text{Com}(J_r)} pour tout {r} de {\{0,\ldots,n\}}. |
| Question 1.b Rappeler le lien entre {A^{-1}} et {\text{Com}(A)} lorsque {A} est inversible. Montrer alors que, pour {(A,B) \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})^2} : {\text{Com}(AB)=\text{Com}(A) \text{Com}(B)} |
| Question 1.c Exprimer {\text{rg}(\text{Com}(A))} en fonction de {\text{rg}(A)} quand {A} est quelconque. |
| Question 2.a Montrer que toute matrice de {GL_n(\mathbb{C})} est une comatrice. |
| Question 2.b On pose {B=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2& 3 \\ \end{pmatrix}} et {A=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}}. Donner {P,Q\in\text{GL}_3(\mathbb{C})} telles que {B=PAQ}. En déduire : {\exists\, M \in {\mathcal M}_3(\mathbb{C}),\;B=\text{Com}(M)}. Déterminer explicitement une telle matrice. |
| Question 2.c Décrire l’ensemble {\{\text{Com}(A), A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C}) \}}. |
| Question 3 Reprendre l’étude précédente dans {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}. |