L’ensemble des comatrices

Exercice (oral Centrale/Supélec)

Si {A} est dans {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})}, on note {\text{Com}(A)} sa comatrice.

On va étudier le rang de {\text{Com}(A)} en fonction de celui de {A}, et l’image de l’application {A\mapsto \text{Com}(A)}.

On note {J_r} la matrice diagonale de {\mathcal{M}_n(\mathbb{C})} telle que : {\begin{cases} \forall\, i\in\llbracket 1,r\rrbracket,\; [J_{r}]_{i,i}=1\\[3pt]\forall\, i\in\llbracket r+1,n\rrbracket,\; [J_{r}]_{i,i}=0 \end{cases}}

Question 1.a
Calculer {\text{Com}(J_r)} pour tout {r} de {\{0,\ldots,n\}}.
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Question 1.b
Rappeler le lien entre {A^{-1}} et {\text{Com}(A)} lorsque {A} est inversible.
Montrer alors que, pour {(A,B) \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})^2} : {\text{Com}(AB)=\text{Com}(A) \text{Com}(B)}
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Question 1.c
Exprimer {\text{rg}(\text{Com}(A))} en fonction de {\text{rg}(A)} quand {A} est quelconque.
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Question 2.a
Montrer que toute matrice de {GL_n(\mathbb{C})} est une comatrice.
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Question 2.b
On pose {B=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2& 3 \\ \end{pmatrix}} et {A=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}}.
Donner {P,Q\in\text{GL}_3(\mathbb{C})} telles que {B=PAQ}.
En déduire : {\exists\, M \in {\mathcal M}_3(\mathbb{C}),\;B=\text{Com}(M)}. Déterminer explicitement une telle matrice.
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Question 2.c
Décrire l’ensemble {\{\text{Com}(A), A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C}) \}}.
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Question 3
Reprendre l’étude précédente dans {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}.
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