Matrices extrémales à coeffs dans [-1,1]

Exercice (oral Centrale/Supélec)

Soit {n} un entier, {n\ge2}.

On munit {{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})} de la norme {\Vert A\Vert=\displaystyle\max_{i,j}\big|a_{i,j}\big|}.

On note : {X_n = \{A\in {\mathcal M}_{n}(\mathbb{R}),\;\Vert A\Vert\leq 1 \}}

On se propose d’étudier {\delta_n = \displaystyle\max_{A \in X_n} |\det A|}.

Question 1.a
Montrer que {\delta_n} existe et que : {1 \leq \delta_n \leq n!}
Une matrice {A \in X_n} telle que {| \det(A) | = \delta_n} est dite extrémale.
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Question 1.b
Montrer qu’il existe une matrice extrémale de coefficients tous égaux à {1} ou {-1}.
Indication : discuter suivant que le cofacteur {m} de {a_{1,1}} est nul ou pas (la généralisation aux autres coefficients étant évidente).
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Question 1.c
Calculer {\delta_2} et {\delta_3}. On notera qu’une matrice reste extrémale après les opérations {L_i\leftarrow-L_i} ou {L_i\leftrightarrow L_j} (idem avec les colonnes).
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Soit {M \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{R})}, de colonnes {c=(c_1,\cdots,c_n)}.

On note {u=(u_1,\cdots,u_n)} la base orthonormée de {\mathbb{R}^n} qui se déduit de {c} par le procédé de Gram-Schmidt.

On note {e=(e_1,\cdots,e_n)} la base canonique de {\mathbb{R}^n}.

Question 2.a
Soit {P} la matrice de passage de {u} à {c}.

Montrer que {|\det(P)| \leq \displaystyle\prod_{i=1}^n \left\|{c_i}\right\|}.

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Question 2.b
En déduire {|\det(M)| \leq \displaystyle\prod_{i=1}^n \left\|{c_i}\right\|}.
Étudier le cas d’égalité.
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Question 3.a
Montrer que {\delta_n \leq n^{n/2}} et calculer {\delta_4}.
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Question 3.b
Construire une matrice extrémale de taille {8} à l’aide d’une matrice extrémale de taille {4} et en déduire {\delta_8}.
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Question 3.c
Pour quels valeurs de {n} peut-on généraliser la construction précédente ?
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