Déterminants par blocs

Exercices corrigés


Exercice 1.
Soient {M,N} dans {{\mathcal M}_n(\mathbb{R})}.
On suppose {MN=NM}. Montrer que :{\Delta=\begin{vmatrix}M&N\\N&M\end{vmatrix}=\det(M^2-N^2)}
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Exercice 2.
Calculer le déterminant {\begin{vmatrix}0&I_n\\-I_n&0\end{vmatrix}}.
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Exercice 3.
Soient {A,B} dans {{\mathcal M}_n(\mathbb{R})}. Montrer que :{D_{2n}=\begin{vmatrix}A&B\\-B&A\end{vmatrix}=|\det(A+iB)|^2}
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Exercice 4.
Soient {A,B,C} trois matrices carrées d’ordre {n}.
Calculer {D=\begin{vmatrix}0&B\\A&C\end{vmatrix}} en fonction de {\det(A)} et de {\det(B)}.
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Exercice 5.
Soit {A\in \mathcal{M}_n(\mathbb{Z})}.
Montrer que {A^{-1}} existe dans {\mathcal{M}_n(\mathbb{Z})} si et seulement si {\det A=\pm 1}.
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