Déterminants d’ordre n+1 (2/2)

Exercice 1.
Calculer le déterminant {D_{n+1}=\begin{vmatrix}0&1&2&\ldots&n\\1&0&1&\ddots&\vdots\\2&\ddots&\ddots&\ddots&2\\\vdots&\ddots&1&0&1\\n&\ldots&2&1&0\end{vmatrix}}
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Exercice 2.
Soit {P} un polynôme, avec {\deg(P)\lt n}.

Calculer le déterminant {D} suivant :

{\begin{vmatrix}\!P(x)\!\!&\!\!P(x\!+\!1)\!\!&\!\!\ldots\!\!&\!\!P(x\!+\!n)\!\\\!P(x\!+\!1)\!\!&\!\!P(x\!+\!2)\!\!&\!\!\ldots\!\!&\!\!P(x\!+\!n\!+\!1)\!\\\!\vdots\!\!&\!\!\vdots\!\!&\!\!\vdots\!\!&\!\!\vdots\!\\\!P(x\!+\!n)\!\!&\!\!P(x\!+\!n\!+\!1)\!\!&\!\!\ldots\!\!&\!\!P(x\!+\!2n)\!\end{vmatrix}}

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Exercice 3.
Calculer le déterminant {D_{n+1}=\begin{vmatrix}1&\cos\theta_0&\cos2\theta_0&\ldots&\cos n\theta_0\\1&\cos\theta_1&\cos2\theta_1&\ldots&\cos n\theta_1\\\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\1&\cos\theta_n&\cos2\theta_n&\ldots&\cos n\theta_n\end{vmatrix}}
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Exercice 4.
Calculer le déterminant {\Delta_n(\theta)} de la matrice {A_n=(a_{ij})_{1\,\le\,i,j\,\le\,n}} où : {\begin{cases}a_{ii}=2\\a_{i-1,j}=a_{i+1,j}=\cos\theta\\a_{ij}=0\text{\ sinon}\end{cases}}
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