Sous-espaces de matrices inversibles

Exercice (oral Centrale/Supélec)

On dit qu’un sous-espace {\mathcal{E}} de {\mathcal{M}_n(\mathbb{K})} vérifie {(\star)} si toute matrice non nulle de {\mathcal{E}} est inversible.

Dans cet exercice, on étudie la dimension maximale d’un tel sous-espace de {\mathcal{M}_n(\mathbb{K})}.

Question 1.a
Montrer que le sous-espace {\mathcal{E}=\left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix}, (a,b) \in \mathbb{R}^2 \right\}} vérifie {(\star)}.
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Question 1.b
Soit {\mathcal{H}} un hyperplan vectoriel de {\mathcal{M}_2(\mathbb{R})}. En écrivant une équation cartésienne de {\mathcal{H}}, montrer qu’il contient une matrice non nulle et non inversible.
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Question 1.c
Quelle est la dimension maximale d’un sous-espace vectoriel de {\mathcal{M}_2(\mathbb{R})} vérifiant {(\star)} ?
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Question 2
Soit {\mathcal{E}} le sous-espace de {\mathcal{M}_4(\mathbb{R})} des matrices :{M(a,b,c,d)=\begin{pmatrix}a&-b&-c&d\\ b&a&-d&-c\\ c&d&a&b\\ -d&c&-b&a\end{pmatrix}}Préciser {\dim(\mathcal{E})} et montrer que {\mathcal{E}} vérifie {(\star)}.
Indication : la transposée de {M(a,b,c,d)}.
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Question 3.a
À quelle condition nécessaire sur {n} existe-t-il
une matrice {A} de {\mathcal{M}_n(\mathbb{R})} telle que {A^2=-I_n} ?
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Question 3.b
On suppose que {n} est pair et qu’il existe des matrices {A_1,\cdots,A_k} de {\mathcal{M}_n(\mathbb{R})} telles que, pour tous indices {i,j} de {\llbracket1,k\rrbracket}, on ait : {A_i^2=-I_n,\;\text{et}\;A_i A_j =-A_j A_i\;\text{si}\;i \neq j}Montrer que {\mathcal{E}=\text{Vect}\{I_n,A_1,\cdots,A_k\}} est de dimension {k+1} et qu’il vérifie {(\star)}.
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Question 4.a
Montrer que la dimension maximale d’un sous-espace de {\mathcal{M}_n(\mathbb{C})} vérifiant {(\star)} est {1}.
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Question 4.b
Même question dans {\mathcal{M}_n(\mathbb{R})} lorsque {n} est impair.
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