Déterminant de la matrice des ppcm(i,j)

Soit {f(a)\!=\!\dfrac{1}{a}\displaystyle\prod_{p\in P_{a}}(1\!-\!p)} et {g(a)\!=\!\!\displaystyle\sum_{d\in \mathcal{D}_{a}}f(d)}
(on convient que {f(1)=1}).

Ainsi {f,g} vont de {\mathbb{N}^*} dans {\mathbb{Q}}.

1. Soient {a,b} dans {\mathbb{N}^*}, premiers entre eux.

   Que dire de {\mathcal{P}_{ab}} relativement à {\mathcal{P}_{a}} et {\mathcal{P}_{b}}?

   Montrer que {(d,\delta)\mapsto d\delta} est une bijection de {\mathcal{D}_{a}\times \mathcal{D}_{b}} sur {\mathcal{D}_{ab}}.

   Montrer {\begin{cases}f(ab)=f(a)f(b)\\g(ab)=g(a)g(b)\end{cases}}

2. Montrer que {g(a)=\dfrac1a} pour tout {a} de {\mathbb{N}^*}.

On note {i\wedge j} le pgcd de deux entiers {i,j}.
On note {i\vee j} leur ppcm.

Soit {M\in\mathcal{M}(\mathbb{R})}, avec {m_{i,j}=i\vee j}.

L’objectif est de calculer {\det(M)}.

On définit {A,B,C,\Delta} dans {\mathcal{M}(\mathbb{R})} :

• Les coefficients de {A} sont les {a_{i,j}=\dfrac{1}{i\wedge j}}.
• {B} est triangulaire supérieure.
  De plus {b_{i,j}=f(i)} si {i\mid j}, et {b_{i,j}=0} sinon.
• {C} est triangulaire inférieure.
  De plus {c_{i,j}=1} si {j\mid i}, et {0} sinon.
• {\Delta} est la matrice diagonale {\text{diag}(1,2,\ldots\!,n)}

1. Montrer que {M=\Delta A\Delta } et que {CB=A}.
2. En déduire que {\det M=n!\displaystyle\prod_{a=1}^{n}(af(a))}.
3. Montrer finalement que :{\det M=n!\displaystyle\prod (1-p)^{[n/p]}}

   (le produit est ici étendu aux entiers premiers {p\le n}, la notation {[m]} désignant la partie entière d’un entier {m}).