Autour du produit de Kronecker

Exercice (oral Centrale/Supélec)

Soit {n\in\mathbb{N}^*} et {(A,B)\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})^{2}}.

On note {\Phi_{A,B}} l’endomorphisme de {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C}) } défini par : {\forall\,M\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C}),\;\Phi_{A,B}(M)=A\,M\,^{t}\!B}Pour {A,B} dans {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})} on pose :{A\otimes B=\begin{pmatrix}a_{1,1}B & \cdots & a_{1,j}B & \cdots & a_{1,n}B\\\vdots & & \vdots & & \vdots\\a_{i,1}B & \cdots & a_{i,j}B & \cdots & a_{i,n}B\\\vdots & & \vdots & & \vdots\\a_{n,1}B & \cdots & a_{n,j}B & \cdots & a_{n,n}B\end{pmatrix}}La matrice {A\otimes B\in\mathcal{M}_{n^{2}}(\mathbb{C})} est appelée « produit de Kronecker » de {A} par {B}.

On munit {\llbracket1,n\rrbracket^{2}} de l’ordre lexicographique : {\left(i,j\right) \le (k,l)\Leftrightarrow \bigl(i\lt k\;\text{ou}\;(i=k\;\text{et}\;j\le l)\bigr)}On admet que {A\otimes B} est la matrice de {\Phi_{A,B}} dans la base canonique ordonnée de {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})}.

Question 1.a
Soit {(A,A',B,B')\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})^{4}}. Montrer que :{\left(A\otimes B\right) \left(A'\otimes B'\right)=AA'\otimes BB'}
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Question 1.b
Qu’en déduit-on si {A} et {B} sont inversibles?
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Question 1.c
Et si {A} et {A'} (resp {B} et {B'}) sont semblables?
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Dans la suite on se donne {\begin{cases}A\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})\\q\in \mathbb{C}-\{0,1\}\end{cases}}

On cherche à quelle condition il existe {M\ne0} dans {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})} telle que {AM=qMA}.

On note {\Theta_{A}\in\mathcal{L}\bigl(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})\bigr)} défini par : {\forall\,M\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C}),\;\Theta_{A}(M)=AM-qMA}

Question
Soit {\left(\alpha_{1},\ldots ,\alpha_{n}\right)} une liste des valeurs propres de {A}.
Soit {\chi_{A}} le polynôme caractéristique de {A}.
Exprimer {\det \Theta_{A}} en fonction de {q} et de {\,\text{ch}i_{A}}.
Indication : commencer par supposer {A} triangulaire.
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Question
En déduire une condition nécessaire et suffisante pour que : {\exists\,M\ne0,\;AM=qMA}.
Que dire si {A} n’est pas inversible?
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Question
On suppose que {A} inversible et que {q} n’est pas une racine de l’unité. Montrer que toute solution {M\ne0} de {AM=qMA} est nilpotente.
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