Série entière et matrice circulante

Exercice (oral Centrale/Supélec)

Dans cet exercice, {n} est un entier, avec {n\ge2}.

Pour tout entier {r} de l’intervalle {\llbracket 0,n\llbracket}, on note : {f_{n,r}(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty} \dfrac{x^{nk+r}}{(nk+r)!}}On étend cette définition à {p\in\mathbb{Z}}, en notant {f_{n,p}=f_{n,r}}{r} est le reste de la division de {p} par {n}.

Question 1.a
Donner le domaine de définition des fonctions {f_{n,p}}.
Préciser {f_{1,0}}, {f_{2,0}} et {f_{2,1}}.
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Question 1.b
Montrer que {(f_{n,r})_{0\le r\lt n}} est une base de l’espace des solutions de l’équation {y^{(n)}=y}.
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Question 2
Soit {B} une matrice complexe.
Montrer que {\det ( \exp(B) )= \exp ( \text{tr}(B))}.
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Soit {M_n(x)} la matrice de {\mathcal{M}_n(\mathbb{C})} dont le terme général est {m_{i,j}(x)=f_{n,i-j}(x)}.

Soit {A=(a_{i,j})\in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})} de terme général : {\begin{cases} a_{i,j}=1\;\text{si}\;i\equiv j+1\ (n)\\a_{i,j}=0\text{ sinon}\end{cases}}

Question 3.a
Montrer que {\exp(xA)=M(x)}.
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Question 3.b
En déduire les identités :{\det(M(x))=1\;\text{et}\;M(x)M(y)=M(x+y)}
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