Exercice (oral Centrale/Supélec)
Soit {A\in \mathcal{M}_{n}\left( \mathbb{C}\right)}.
On note {\widetilde{A}} la transposée de la comatrice de {A}.
Pour {x\in\mathbb{C}}, on note {C(x)=\widetilde{xI_{n}-A}}.
On va étudier la fonction matricielle {x\mapsto C(x)}.
| Question 1 Soit {Q\in \mathbb{C}\left( X\right) }, avec {\deg(Q)=n\ge1}, et {x\in \mathbb{C}}. Démontrer qu’il existe de façon unique des polynômes {u_{0},u_{1},\ldots ,u_{n-1}} dont on précisera le degré et le coefficient dominant, et qui vérifient : {Q(x)-Q(Y)=(x-Y)\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}u_{k}(x)Y^{k} } |
| Question 2 En déduire, avec {Q} bien choisi, que : {\forall\,x\in\mathbb{C},\;C(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}u_{k}(x)A^{k}} |