Déterminants divers (1/2)

Exercice 1.
Montrer qu’un déterminant antisymétrique d’ordre impair est nul.
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Exercice 2.
Soit {A\in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})}, de coefficients diagonaux nuls, les autres valant {\pm 1}.
On suppose que {n} est pair. Montrer que {A} est inversible.
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Exercice 3.
Soient {A} et {B} deux matrices de types respectifs {(n,p)} et {(p,n)}, avec {n\ne p}.
Montrer que l’un au moins des déterminants {\det(AB)} ou {\det(BA)} est nul.
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Exercice 4.
Soit {A} carrée d’ordre {n}, nilpotente. Montrer que {\det(\text{I}+A)=1}.
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Exercice 5.
On pose {E=\mathbb{K}_n[X]}. Soit {f} définie sur {E} par {f(P)(x)=\displaystyle\displaystyle\int_x^{x+1}\!\!\!P(t)\ dt}Montrer que {f\in\mathcal{L}(E)}. Calculer {\det(f)}
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Author: Jean-Michel Ferrard

Professeur de mathématiques en classe préparatoire aux grandes écoles. Classe de Psi*, lycée Chaptal, Paris.