Exercice (oral Centrale/Supélec)
Soit {n\ge2} un entier. On note {\omega=e^{2i\pi/n}}.
Soit {V_n\in{\mathcal M}_n(\mathbb{C})} de coefficients : {a_{k,\ell} = \omega^{(k-1)(\ell-1)}\;\text{pour}\;(k,\ell)\in\{1,\ldots, n\}^2}
| Question 1 On note {\overline{V_n}} la matrice de coefficients {\overline{a_{k,\ell}}}. Calculer {V_n\overline{V_n}}. En déduire {\left|\det(V_{n})\right|}. |
| Question 2 Calculer {V_n^4} (exprimer {V_{n}^{2}} par blocs). Montrer que {V_n} est diagonalisable. |
| Question 3 Donner un argument de {\det(V_n)}. |
| Question 4 Préciser les sous-espaces propres de {V_n^2}. |