Exercice (oral Centrale/Supélec)
Soit {n\ge2} un entier. On note {\omega=e^{2i\pi/n}}.
Soit {V_n\in{\mathcal M}_n(\mathbb{C})} de coefficients : {a_{k,\ell} = \omega^{(k-1)(\ell-1)}\;\text{pour}\;(k,\ell)\in\{1,\ldots, n\}^2}
Question 1
On note {\overline{V_n}} la matrice de coefficients {\overline{a_{k,\ell}}}.
Calculer {V_n\overline{V_n}}. En déduire {\left|\det(V_{n})\right|}.
On note {\overline{V_n}} la matrice de coefficients {\overline{a_{k,\ell}}}.
Calculer {V_n\overline{V_n}}. En déduire {\left|\det(V_{n})\right|}.
Question 2
Calculer {V_n^4} (exprimer {V_{n}^{2}} par blocs).
Montrer que {V_n} est diagonalisable.
Calculer {V_n^4} (exprimer {V_{n}^{2}} par blocs).
Montrer que {V_n} est diagonalisable.
Question 3
Donner un argument de {\det(V_n)}.
Donner un argument de {\det(V_n)}.
Question 4
Préciser les sous-espaces propres de {V_n^2}.
Préciser les sous-espaces propres de {V_n^2}.