Déterminants
Exercices corrigés sur le thème « Déterminants »

(Oral Ensam)
Soit

{A\in {\mathcal M}_{p+1}(\mathbb{R})}

où

{a_{i,j} =\dbinom{m+i}{j}}

.
Calculer

{\det(A)}

(Oral X-Cachan Psi)
Pour toute matrice

{P}

{{\mathcal M}_{p}(\mathbb{K})}

, on montre qu’il existe une matrice diagonale

{J}

, avec des coefficients

{\pm1}

sur sa diagonale, telle que

{\det (P+J)\ne 0}

(Oral Mines-Ponts)
Soient

{a_1,\cdots ,a_n\in\mathbb{C}}

distincts.
Calculer :

{P_n(x)=\begin{vmatrix}x & a_2 & a_3 & \cdots & a_n \\ a_1 & x & a_3 & & \vdots \\ \vdots & a_2 &x & \ddots & \vdots \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots &a_n \\ a_1 & a_2 & \cdots & a_{n-1}&x\end{vmatrix}\quad}

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{A}

dans

{\mathcal{M}_3(\mathbb{C})}

telle que

{\text{tr}(A)=\text{tr}(A^2)=0}

.
Montrer que

{\det(A^2+I_3)=1+(\det A)^2}

(Oral Mines-Ponts)
Soient

{n}

un entier positif pair, et soit

A

antisymétrique dans

{\mathcal M}_n(\mathbb{R})

. Soit

J

la matrice de

{\mathcal M}_n(\mathbb{R})

dont tous les coefficients sont égaux à 1.
Étudier la fonction

{t\in\mathbb{R}\mapsto\det( A+tJ)}

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{(a,b,c)\in(\mathbb{R}^{+*})^3}

avec

{a+b+c=\pi}

.
Calculer

{\det(A)}

, avec

{A=\begin{pmatrix} 1 & \cos(a) & \tan(a/2) \\ 1 & \cos(b) & \tan(b/2) \\ 1 & \cos(c) & \tan(c/2)\end{pmatrix}}