Polynômes caractéristiques de AB et BA
Soient {A} et {B} deux matrices de {{\mathcal M}_n(\mathbb{K})}.
Montrer que {AB} et {BA} ont le même polynôme caractéristique.
Montrer que {AB} et {BA} ont le même polynôme caractéristique.
Déterminants
Rang d’une matrice à paramètre
Calculer le rang de {A=}{\begin{pmatrix}a^2 & a & 2 & 2a \\a & a^2 & 2a & 2 \\2 & 2a & a^2 & a \\2a & 2 & a & a^2\end{pmatrix}}
Déterminant et produit de Kronecker
Pour {A=\begin{pmatrix}a&b\cr c&d\end{pmatrix}\in\mathcal{M}_2(\mathbb{K})}, {M\in{\mathcal M}_n(\mathbb{K})}, soit {A\otimes M=\begin{pmatrix}aM&bM\cr cM&dM\end{pmatrix}}.
Établir que {\det(A\otimes M)=(\det A)^n(\det M)^2}
Déterminant par blocs
Soit {M,N,P,Q} dans {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})}, avec PQ=QP.
Montrer que {\det\begin{pmatrix}M&N\\ P&Q \end{pmatrix}=\det(MQ-NP)}.
Montrer que {\det\begin{pmatrix}M&N\\ P&Q \end{pmatrix}=\det(MQ-NP)}.
Déterminant et racines d’un polynôme
(Oral Ccp)
On calcule un déterminant d’ordre n dont les coefficients diagonaux sont fonctions des racines (toutes distinctes) du polynôme {P_{n}=X^{n}-X+1}.
On calcule un déterminant d’ordre n dont les coefficients diagonaux sont fonctions des racines (toutes distinctes) du polynôme {P_{n}=X^{n}-X+1}.
Diagonalisabilité d’une matrice 4×4
(Oral Centrale)
Diagonalisabilité de {\begin{pmatrix}a & -b & -c & -d \\ b & a & -d & c \\ c & d & a & -b \\d & -c & b & a\end{pmatrix}} où {bcd\neq 0}.
Diagonalisabilité de {\begin{pmatrix}a & -b & -c & -d \\ b & a & -d & c \\ c & d & a & -b \\d & -c & b & a\end{pmatrix}} où {bcd\neq 0}.
Indépendance de formes linéaires
(Oral Centrale)
Soit {(f_{1},\ldots ,f_{p})} des formes linéaires sur {E}, avec \dim(E)=p. Montrer i)\Leftrightarrow ii)\Leftrightarrow iii) :
i) la famille {(f_{1},\ldots,f_{p})} est libre;
ii) {\varphi :x\in E\mapsto(f_{1}(x),\ldots,f_{p}(x))} est surjective;
iii) {\exists\, (x_{1},\ldots,x_{p})\in E^{p}}, {\det(f_{i}(x_{j}))_{1\leq i,j\leq p}\neq 0}.
Soit {(f_{1},\ldots ,f_{p})} des formes linéaires sur {E}, avec \dim(E)=p. Montrer i)\Leftrightarrow ii)\Leftrightarrow iii) :
i) la famille {(f_{1},\ldots,f_{p})} est libre;
ii) {\varphi :x\in E\mapsto(f_{1}(x),\ldots,f_{p}(x))} est surjective;
iii) {\exists\, (x_{1},\ldots,x_{p})\in E^{p}}, {\det(f_{i}(x_{j}))_{1\leq i,j\leq p}\neq 0}.
Vandermonde, le retour
(Oral École Navale)
Calculer {\det(M)}, où {m_{i,j}=j(a_{i}^{j-2}+a_{i}^{j-1})} si {2\le j\le n}, et {m_{i1}=1}.
Calculer {\det(M)}, où {m_{i,j}=j(a_{i}^{j-2}+a_{i}^{j-1})} si {2\le j\le n}, et {m_{i1}=1}.
Déterminant puis valeurs propres
(Oral Mines-Ponts)
Soit {A_{n}\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})} définie par {a_{i,j} = 1} si {|i- j| = 1}, et {a_{i,j}=0} sinon.
Calculer {\Delta_{n}(\theta)=\det(2\cos(\theta)I_{n}-A_{n})}. En déduire {\text{Sp}(A_{n})}.
Soit {A_{n}\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})} définie par {a_{i,j} = 1} si {|i- j| = 1}, et {a_{i,j}=0} sinon.
Calculer {\Delta_{n}(\theta)=\det(2\cos(\theta)I_{n}-A_{n})}. En déduire {\text{Sp}(A_{n})}.
Diagonalisation et déterminant
(Oral Mines-Ponts et Ensam)
Soit {M = (m_{i,j})\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})} où {m_{i,i} = a} pour {i\in[[1,n]]} et {m_{i,j} = b} si {i\ne j}.
La matrice {M} est-elle diagonalisable ? Donner ses valeurs propres. Quelles sont les dimensions de ses sous-espaces propres ? Calculer {\det(M)}.
Soit {M = (m_{i,j})\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})} où {m_{i,i} = a} pour {i\in[[1,n]]} et {m_{i,j} = b} si {i\ne j}.
La matrice {M} est-elle diagonalisable ? Donner ses valeurs propres. Quelles sont les dimensions de ses sous-espaces propres ? Calculer {\det(M)}.
Déterminant positif, par blocs
(Oral Mines-Ponts)
Soient {A, B\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})} et {M=\begin{pmatrix}A&-B\\ B&A\end{pmatrix}}.
Montrer que {\det(M)\ge 0}.
Soient {A, B\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})} et {M=\begin{pmatrix}A&-B\\ B&A\end{pmatrix}}.
Montrer que {\det(M)\ge 0}.
Conditions impliquant det(x A + y B)=0
](Oral Mines-Ponts)
Soit {A,B\in{\mathcal M}_{3}(\mathbb{R})}, avec {\det(A)=\det(B)=\det(A\!+\!B)=\det(A\!-\!B)=0}.
Calculer {\det(xA+yB)} pour tous réels {x,y}.
Soit {A,B\in{\mathcal M}_{3}(\mathbb{R})}, avec {\det(A)=\det(B)=\det(A\!+\!B)=\det(A\!-\!B)=0}.
Calculer {\det(xA+yB)} pour tous réels {x,y}.
Un déterminant tridiagonal
(Oral Mines-Ponts)
On définit {M_{n}\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})} par {m_{i,i}=\dfrac{a}{b}}, {m_{i,i+1}=a}, {m_{i+1,i}=\dfrac{1}{b}} (et {0} sinon).
Calculer le déterminant \Delta_n de {M_{n}}.
On définit {M_{n}\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})} par {m_{i,i}=\dfrac{a}{b}}, {m_{i,i+1}=a}, {m_{i+1,i}=\dfrac{1}{b}} (et {0} sinon).
Calculer le déterminant \Delta_n de {M_{n}}.
Déterminant et Chebyshev
Calcul d’un déterminant d’ordre n
(Oral Mines-Ponts)
Calculer {\det(M)}, pour {M\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})}, avec {m_{i,j}=\dfrac{a_{i}}{a_{j}}+\dfrac{a_{j}}{a_{i}}}
Calculer {\det(M)}, pour {M\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})}, avec {m_{i,j}=\dfrac{a_{i}}{a_{j}}+\dfrac{a_{j}}{a_{i}}}
Produit scalaire et déterminant
(Oral Ccp)
Soit {A\in\text{GL}_{n}(\mathbb{R})}. Montrer que : {\forall x\in\mathbb{R},\;1 +\left(x \mid A^{-1}x\right) =\dfrac{\det(x\,{x}^{\top}+A)}{\det(A)}}.
Soit {A\in\text{GL}_{n}(\mathbb{R})}. Montrer que : {\forall x\in\mathbb{R},\;1 +\left(x \mid A^{-1}x\right) =\dfrac{\det(x\,{x}^{\top}+A)}{\det(A)}}.
Calcul de déterminant en Python
(Oral Centrale)
Soit {A_n=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}} avec {a_{i,j}=(-1)^{\max(i,j)}}. Calculer {\det(A_n)}.
Soit {A_n=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}} avec {a_{i,j}=(-1)^{\max(i,j)}}. Calculer {\det(A_n)}.
Deux déterminants reliés
(Oral X-Cachan)
Avec A,M dans \mathcal{M}_4(\mathbb{K}), on calcule AM et \det(A) pour en déduire \det(M).
Avec A,M dans \mathcal{M}_4(\mathbb{K}), on calcule AM et \det(A) pour en déduire \det(M).
Égalité matricielle et déterminant
(Oral Ensam)
Soit {A\in{\mathcal M}_n(\mathbb{R})} telle que {A^3+A-I_n=0}. Montrer que {\det(A)>0}.
Soit {A\in{\mathcal M}_n(\mathbb{R})} telle que {A^3+A-I_n=0}. Montrer que {\det(A)>0}.
Le cousin de Vandermonde
(Oral Centrale)
Soit {(a,b,c,d)\in\mathbb{K}^4}. Calculer le déterminant {\begin{vmatrix}1&a&a^2&a^4\\1&b&b^2&b^4\\1&c&c^2&c^4\\1&d&d^2&d^4\end{vmatrix}}.
Soit {(a,b,c,d)\in\mathbb{K}^4}. Calculer le déterminant {\begin{vmatrix}1&a&a^2&a^4\\1&b&b^2&b^4\\1&c&c^2&c^4\\1&d&d^2&d^4\end{vmatrix}}.
Déterminant et coefficients binomiaux
(Oral Ensam)
Soit {A\in {\mathcal M}_{p+1}(\mathbb{R})} où {a_{i,j} =\dbinom{m+i}{j}}.
Calculer {\det(A)}.
Soit {A\in {\mathcal M}_{p+1}(\mathbb{R})} où {a_{i,j} =\dbinom{m+i}{j}}.
Calculer {\det(A)}.
Matrices par blocs
(Oral X-Cachan Psi)
Pour toute matrice {P} de {{\mathcal M}_{p}(\mathbb{K})}, on montre qu’il existe une matrice diagonale {J}, avec des coefficients {\pm1} sur sa diagonale, telle que {\det (P+J)\ne 0}.
Pour toute matrice {P} de {{\mathcal M}_{p}(\mathbb{K})}, on montre qu’il existe une matrice diagonale {J}, avec des coefficients {\pm1} sur sa diagonale, telle que {\det (P+J)\ne 0}.
Un déterminant et un polynôme
(Oral Mines-Ponts)
Soient {a_1,\cdots ,a_n\in\mathbb{C}} distincts.
Calculer : {P_n(x)=\begin{vmatrix}x & a_2 & a_3 & \cdots & a_n \\ a_1 & x & a_3 & & \vdots \\ \vdots & a_2 &x & \ddots & \vdots \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots &a_n \\ a_1 & a_2 & \cdots & a_{n-1}&x\end{vmatrix}\quad}
Soient {a_1,\cdots ,a_n\in\mathbb{C}} distincts.
Calculer : {P_n(x)=\begin{vmatrix}x & a_2 & a_3 & \cdots & a_n \\ a_1 & x & a_3 & & \vdots \\ \vdots & a_2 &x & \ddots & \vdots \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots &a_n \\ a_1 & a_2 & \cdots & a_{n-1}&x\end{vmatrix}\quad}
Trace et déterminant
(Oral Mines-Ponts)
Soit {A} dans {\mathcal{M}_3(\mathbb{C})} telle que {\text{tr}(A)=\text{tr}(A^2)=0}.
Montrer que {\det(A^2+I_3)=1+(\det A)^2}.
Soit {A} dans {\mathcal{M}_3(\mathbb{C})} telle que {\text{tr}(A)=\text{tr}(A^2)=0}.
Montrer que {\det(A^2+I_3)=1+(\det A)^2}.
Déterminant variable ?
(Oral Mines-Ponts)
Soient {n} un entier positif pair, et soit A antisymétrique dans {\mathcal M}_n(\mathbb{R}). Soit J la matrice de {\mathcal M}_n(\mathbb{R}) dont tous les coefficients sont égaux à 1.
Étudier la fonction {t\in\mathbb{R}\mapsto\det( A+tJ)}.
Soient {n} un entier positif pair, et soit A antisymétrique dans {\mathcal M}_n(\mathbb{R}). Soit J la matrice de {\mathcal M}_n(\mathbb{R}) dont tous les coefficients sont égaux à 1.
Étudier la fonction {t\in\mathbb{R}\mapsto\det( A+tJ)}.
Un calcul de déterminant
(Oral Mines-Ponts)
Soit {(a,b,c)\in(\mathbb{R}^{+*})^3} avec {a+b+c=\pi}.
Calculer {\det(A)}, avec {A=\begin{pmatrix} 1 & \cos(a) & \tan(a/2) \\ 1 & \cos(b) & \tan(b/2) \\ 1 & \cos(c) & \tan(c/2)\end{pmatrix}}.
Soit {(a,b,c)\in(\mathbb{R}^{+*})^3} avec {a+b+c=\pi}.
Calculer {\det(A)}, avec {A=\begin{pmatrix} 1 & \cos(a) & \tan(a/2) \\ 1 & \cos(b) & \tan(b/2) \\ 1 & \cos(c) & \tan(c/2)\end{pmatrix}}.