Matrices par blocs

(Oral X-Cachan Psi)
On se donne

{A\in{\mathcal M}_n(\mathbb{C})}

{B\in{\mathcal M}_{n,m}(\mathbb{K})}

{C\in{\mathcal M}_{m,n}(\mathbb{K})}

{D\in{\mathcal M}_m(\mathbb{K})}

.
On pose

{P=\left(\begin{array}{c|c}A&B\\C&D\end{array}\right)}

. Dans (1) et (2), on suppose

{A}

inversible.

Montrer qu’il existe ${X\in{\mathcal M}_{n,m}(\mathbb{C})}$ telle que
${P=\left(\begin{array}{c|c}A&0\\ C&I_m\end{array}\right)\left(\begin{array}{c|c}I_m&X\\ 0&D-CA^{-1} B\end{array}\right)}$
Montrer que ${\det P= \det(A)\det\left(D-CA^{-1} B\right)}$ .
Soit ${P}$ dans ${{\mathcal M}_{p}(\mathbb{K})}$ .
Montrer qu’il existe ${J}$ diagonale, des ${\pm1}$ sur sa diagonale, avec ${\det (P+J)\ne 0}$ .

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