Une algèbre de matrices 3×3

Exercice (oral Centrale/Supélec)

On note {E} l’ensemble des matrices {M(a,b,c)= \begin{pmatrix}a+b+c&\ b+c\ & b+c\cr b&\ a+b\ & b\cr b-c&\ b-c\ &a+b-c\end{pmatrix}}avec {(a,b,c)} dans {\mathbb{R}^3}

Pour simplifier, on notera {M} plutôt que {M(a,b,c)}.

Question 1
Montrer que {E} est une sous-algèbre de {\mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})}.
En donner la dimension et une base.
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Question 2
Soit {M} dans {E}. Déterminer un polynôme {P} annulateur de {M}, avec {\deg(P)=2}.
En déduire à quelle condition {M} est inversible.
Dans ce cas, donner une expression de {M^n}, valable pour tout {n} de {\mathbb{Z}}.
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Question 3
Dire à quelles conditions sur {(a,b,c)} la matrice {M} est diagonalisable sur {\mathbb{R}}.
Quand ces conditions sont réunies, procéder à la diagonalisation de {M}.
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