Points entiers sur une hyperbole

Exercice (oral Centrale/Supélec)

Soit {\mathcal{H}} l’hyperbole d’équation {x^2-3y^2=1}.

Question 1
Montrer qu’il existe une seule matrice {A=\begin{pmatrix} a & b \\1 & c \end{pmatrix}} ({a,b,c \in \mathbb{N}}) telle que {A(\mathcal{H} ) \subset \mathcal{H}}.
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On pose {X_0=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}} et : {\forall\,n\in\mathbb{N},\;X_{n+1}=AX_n}.

Question 2
Montrer que l’équation {x^2-3y^2=1} admet une infinité de solutions entières et en donner trois.
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Soit {B=A^{-1}}. On note : {\mathcal{H}^+ = \{ (x,y) \in \mathbb{N}^2 / x^2-3y^2=1 \}}Pour {(x,y) \in \mathcal{H}^+}, on pose {\varphi(x,y)=x+y}.

Question 3.a
Montrer que si {X \in \mathcal{H}^+ \backslash \{X_0 \}} alors :{BX \in\mathcal{H}^+\;\text{et}\;\varphi(BX) \lt \varphi(X)}
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Question 3.b
En déduire que : {\forall\, X \in \mathcal{H}^+, \exists\, n \in \mathbb{N},\;X = A^n X_0}Conclusion ?
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