Exercice (oral Centrale/Supélec)
On dit qu’une suite complexe {u} est récurrente linéaire d’ordre {p \in \mathbb{N}} si : {\begin{array}{l}\exists\, (a_0,\cdots,a_{p-1})\in\mathbb{C}^{p},\\[3pt]\forall\, n \in \mathbb{N}, \; u_{n+p}=\displaystyle\sum_{k=0}^{p-1}a_k u_{n+k} \qquad (\star)\end{array}}Soit {H_n(u)=(h_{i,j}) \in M_n(\mathbb{C})} définie par : {\forall\, (i,j) \in \{1,\cdots,n\}^2, \; h_{i,j}=u_{i+j-2}}
| Question 1 Montrer que {(\star)\Rightarrow H_p(u) \begin{pmatrix} a_0 \\ \vdots \\ a_{p-1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} u_p \\ \vdots \\ u_{2p-1} \end{pmatrix}} |
| Question 2 Soit {u} récurrente linéaire d’ordre {3} telle que {(u_0,u_{1},u_{2},u_{3})=(0,1,2,0,-3,-1)}. Que vaut {u_6} ? |
| Question 3 On suppose que {u} est récurrente linéaire d’ordre {3}. On suppose aussi {r=\text{rang} \, H_3(u)}, où {0\le r\le 3}. Montrer que {u} est récurrente d’ordre {r}. |
| Question 4 Soit {a\!\in\!\mathbb{C}} et {u} définie par {(u_{0},u_{1},u_{2})\!=\!(0,1,a)} et {\forall\, n \in \mathbb{N}, \; u_{n+3}=u_{n+2}+u_{n+1}-u_n}Déterminer suivant {a} l’ordre minimal de récurrence de {u} et la relation de récurrence associée. |