Itération matricielle et approximation

Exercice (oral Centrale/Supélec)

Soit {n\ge2} un entier, et {m} dans {\mathbb{C}\setminus\{1\}}.

Soit {A=(a_{ij})\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})}, où {a_{i,j}=\begin{cases}1\;\text{si}\;i\le j\\ m\;\text{si}\;i>j\end{cases}}

Par exemple, si {n=4} : {A=\begin{pmatrix}1&1&1&1\cr m&1&1&1\cr m&m&1&1\cr m&m&m&1\end{pmatrix}}

On identifie les vecteurs de {\mathbb{C}^n} à des matrices colonnes.

Dans la question 1, on privilégiera les opérations élémentaires sur les lignes.

Question 1.a
Calculer et factoriser le déterminant de {A}.
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Question 1.b
Soit {B\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})}, avec {\begin{cases}b_{i,i+1}=1\;\text{si}\;1\le i\lt n\\ b_{n,1}=m\\b_{i,j}=0\;\text{sinon}\end{cases}}

Par exemple, si {n=4} : {B=\begin{pmatrix}0&1&0&0\cr 0&0&1&0\cr 0&0&0&1\cr m&0&0&0\end{pmatrix}}
Calculer {BA} et en déduire {A^{-1}}.

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On pose {\omega=\text{e}^{2i\pi/n}}, et on désigne par {r} une racine {n}-ième particulière de {m} dans {\mathbb{C}}.

Pour tout {k} de {\{0,\ldots,n-1\}}, on note : {r_{k}=\omega^{k}r\;\text{et}\;V_{k}=(1,r_{k},r_{k}^2,\ldots,r_{k}^{n-1})}On note {\lambda_{k}=\dfrac{m-1}{r_{k}-1}}, pour {k\in\{0,\ldots,n-1\}}.

Question 2
Montrer que {V_{0},V_{1},\ldots,V_{n-1}} forment une base de vecteurs propres de {A} pour les valeurs propres respectives {\lambda_{0},\lambda_{1},\ldots,\lambda_{n-1}}.
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On suppose désormais {m\gt 1}.

On reprend les notations précédentes, et {r} est l’unique élément de {]1,+\infty[} tel que {r^n=m}.

Question 3.a
Montrer que, parmi les {\lambda_{k}}, la valeur propre de plus grand module est {\lambda_{0}=\dfrac{m-1}{r-1}}.
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Question 3.b
Soit {U=(1,0,\ldots,0)}. Montrer que {U=\dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}V_{k}}.
En déduire {\displaystyle\lim_{p\to\infty}\dfrac{n}{\lambda_{0}^p}A^pU}.
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