Triplets rectangulaires

Exercice (oral Centrale/Supélec)

On appelle « triplet rectangulaire » tout triplet {(x,y,z)} d’entiers naturels premiers entre eux dans leur ensemble tels que {x^2+y^2=z^2}.

On note {\mathcal{T}} l’ensemble de ces triplets.

Soit {M=\begin{pmatrix}2&1&2\\ 1&2&2\\ 2&2&3\end{pmatrix}} et {\Delta=\begin{pmatrix}1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&-1\end{pmatrix}}

On identifiera un élément de {\R^3} avec la matrice-colonne associée.

Question 1
Calculer {\det(M)} et {M^{\top}\, \Delta\, M}.
Soit {u_{0}\in\mathcal{T}} et : {\forall\,n\in\mathbb{N},\;u_n=M^nu_0}
Montrer que les {u_{n}} sont dans {\mathcal{T}} et qu’ils sont deux à deux distincts.
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Question 2.a
Donner le polynôme caractéristique de {M}.
Montrer que {(x_{n})_{n\ge0}}, {(y_{n})_{n\ge0}} et {(z_{n})_{n\ge0}} satisfont à une même relation de récurrence {\mathcal{R}}.
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Dans la suite, on suppose {u_{0}=(0,1,1)}.

Question 2.b
Montrer que pour tout {n} de {\mathbb{N}}, on a {y_{n}=x_{n}+1}.
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Question 2.c
Donner l’expression de {x_{n}} en fonction de {n}.
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Question 2.d
Donner les {10} premiers triplets rectangulaires {(x_{n},y_{n},z_{n})} ainsi obtenus.
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