Exercice (oral Centrale/Supélec)
Soit {A=\dfrac12\begin{pmatrix}7&-2&3\cr 10&-2&6\cr -5&2&-1\end{pmatrix}}.
Soit {f} l’endomorphisme de {\mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})} défini par {f(M)=\dfrac{1}{2}(AM+MA)}.
Question 1
Déterminer une matrice {P} telle que {B=P^{-1}AP} soit diagonale.
Déterminer une matrice {P} telle que {B=P^{-1}AP} soit diagonale.
Question 2
Soit {g} l’endomorphisme de {\mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})} défini par {g(M)=\dfrac12(BM+MB)}.
Calculer les coefficients de {g^{k}(M)} en fonction de ceux de {M}. En déduire {\displaystyle\lim_{k\to\infty}g^{k}(M)=BMB}.
Soit {g} l’endomorphisme de {\mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})} défini par {g(M)=\dfrac12(BM+MB)}.
Calculer les coefficients de {g^{k}(M)} en fonction de ceux de {M}. En déduire {\displaystyle\lim_{k\to\infty}g^{k}(M)=BMB}.
Question 3
En déduire que dans {\mathcal{L}(\mathcal{M}_{3}(\mathbb{R}))} on a {\displaystyle\lim_{k\to\infty}f^{k}=h}, où {h} est un projecteur à préciser.
En déduire que dans {\mathcal{L}(\mathcal{M}_{3}(\mathbb{R}))} on a {\displaystyle\lim_{k\to\infty}f^{k}=h}, où {h} est un projecteur à préciser.
Question 4
Déterminer le rang de {f^{k}} pour tout {k} de {\mathbb{N}^{*}}, et le rang de {h}.
Déterminer le rang de {f^{k}} pour tout {k} de {\mathbb{N}^{*}}, et le rang de {h}.