Décomposition en somme de carrés

Exercice (oral Centrale/Supélec)

On note {\mathbb{K}} un sous-corps de {\mathbb{C}}.

On note toujours {n=2^{m}} avec {m\in\mathbb{N}}.

On se propose de montrer (par récurrence sur l’entier {m}) le résultat suivant :
{\begin{array}{l}\forall\,\left(a_{1},a_{2},\ldots,a_{n}\right)\in\mathbb{K}^{n},\\[6pt]\exists\,A=\begin{pmatrix}a_1&a_2&\cdots & \cdots & a_{n} \\\ast & \cdots & \cdots & \cdots & \ast \\\vdots & & & & \vdots \\\vdots & & & & \vdots \\\ast & \cdots & \cdots & \cdots & \ast \end{pmatrix}\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}),\\[15pt]\text{telle que }:\;{}^{t}\!A\,A=A\,{}^{t}\!A=\Big( \displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_{i}^{2}\Big) I_{n}\end{array}}

Question 1
Traiter les cas {m=0} et {m=1}.
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On suppose le résultat vrai au rang {m-1} ({m\geqslant 2}).
Soit {\left(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\right)\in\mathbb{K}^{n}}, et {a=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_{i}^{2}}.

Question 2.a
Résoudre la question si {a_{1}=\cdots =a_{n}=0}.
Traiter ensuite le cas {a=0} et {a_{1}\neq 0} (exprimer {A} en fonction de {L=(a_{1},a_{2},\ldots,a_{n}))}.
Traiter enfin le cas où {a=0} et où il existe {i\in\llbracket2,n\rrbracket } tel que {a_{i}\neq 0}.
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Question 2.b
On suppose {a\neq 0}. Soit {b=\!\displaystyle\sum_{i=1}^{n/2}a_{i}^{2}} et {c=\!\!\!\displaystyle\sum_{i=n/2+1}^{n}\!\!\!a_{i}^{2}}
Résoudre la question si {b\neq 0}, en cherchant {A} définie par blocs. Traiter ensuite le cas où {b=0}.
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Question 2.c
Expliciter {A} quand {n=4} et que la première ligne de {A} est {\left(1,q,q^{2},q^{3}\right)}, où {q\in\mathbb{C}-\{i,-i\}}.
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Question 3
On note {\mathcal{F}_{n}(\mathbb{K}) } l’ensemble des éléments de {\mathbb{K}} qui peuvent s’écrire comme une somme de {n} carrés d’éléments de {\mathbb{K}}.
Déduire de ce qui précède que {\mathcal{F}_{n}(\mathbb{K}) \cap \mathbb{K}^{\ast}} est un sous-groupe de {\left(\mathbb{K}^{\ast},\times \right)}.
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