Algorithme de Babylone matriciel

Exercice (oral Centrale/Supélec)

Question 1
Étudier les suites réelles

{(u_{n})_{n\ge0}}

définies par

{u_0=a\in\mathbb{R}^{*}}

et :

{\forall\, n\in\mathbb{N},\;u_{n+1}=\dfrac 12 \Big(u_n+\dfrac 1{u_n}\Big)}

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

Pour ${A \in {\mathcal M}_p(\mathbb{R})}$ , on pose ${A_{0}=A}$ , et : ${\forall\, n\in\mathbb{N},\; A_{n+1}=\dfrac 12 (A_n + A_n^{-1})}$

Question 2.a
Étudier

{(A_n)}

{A=I_p+N}

avec

{N}

nilpotente.

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

Question 2.b
Étudier

{(A_n)}

quand

{\begin{cases}A=u I+v N\\u \neq 0\;\text{et}\;N^2=0\end{cases}}

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

Question 2.c
Étudier la suite

{(A_n)}

quand

{A=\begin{pmatrix} -3 & 4 & -3 \\ -3 & 4 & -2 \\ 4 & -4 & 4 \end{pmatrix}}

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

Question 3.a
Étudier

{(A_n)_{n\ge0}}

quand

{A}

est symétrique inversible.

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

Question 3.b
Étudier

{(A_n)_{n\ge0}}

quand

{A}

est orthogonale.

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :