Exercice (oral Centrale/Supélec)
Question 1
Étudier les suites réelles {(u_{n})_{n\ge0}} définies par
{u_0=a\in\mathbb{R}^{*}} et : {\forall\, n\in\mathbb{N},\;u_{n+1}=\dfrac 12 \Big(u_n+\dfrac 1{u_n}\Big)}.
Étudier les suites réelles {(u_{n})_{n\ge0}} définies par
{u_0=a\in\mathbb{R}^{*}} et : {\forall\, n\in\mathbb{N},\;u_{n+1}=\dfrac 12 \Big(u_n+\dfrac 1{u_n}\Big)}.
Pour {A \in {\mathcal M}_p(\mathbb{R})}, on pose {A_{0}=A}, et :{\forall\, n\in\mathbb{N},\; A_{n+1}=\dfrac 12 (A_n + A_n^{-1})}
Question 2.a
Étudier {(A_n)} si {A=I_p+N} avec {N} nilpotente.
Étudier {(A_n)} si {A=I_p+N} avec {N} nilpotente.
Question 2.b
Étudier {(A_n)} quand {\begin{cases}A=u I+v N\\u \neq 0\;\text{et}\;N^2=0\end{cases}}
Étudier {(A_n)} quand {\begin{cases}A=u I+v N\\u \neq 0\;\text{et}\;N^2=0\end{cases}}
Question 2.c
Étudier la suite {(A_n)} quand {A=\begin{pmatrix} -3 & 4 & -3 \\ -3 & 4 & -2 \\ 4 & -4 & 4 \end{pmatrix}}
Étudier la suite {(A_n)} quand {A=\begin{pmatrix} -3 & 4 & -3 \\ -3 & 4 & -2 \\ 4 & -4 & 4 \end{pmatrix}}
Question 3.a
Étudier {(A_n)_{n\ge0}} quand {A} est symétrique inversible.
Étudier {(A_n)_{n\ge0}} quand {A} est symétrique inversible.
Question 3.b
Étudier {(A_n)_{n\ge0}} quand {A} est orthogonale.
Étudier {(A_n)_{n\ge0}} quand {A} est orthogonale.