Petit calcul matriciel
Exercices de « petit calcul matriciel ».
Calcul matriciel
Puissances de matrices carrées
Trois exercices sur le thème « puissances de matrices carrées ».
Normes matricielles
Cinq exercices sur le thème « normes matricielles ».
Matrices symétriques réelles
Six exercices simples sur le thème « matrices symétriques réelles ».
Noyau de M+MT quand M2=0
Soit {M} dans {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}, telle que {M^{2}=0}.
Montrer que {\text{Ker}(M+{M}^{\top})=\text{Ker}(M)\cap\text{Ker}({M}^{\top})}.
Montrer que {\text{Ker}(M+{M}^{\top})=\text{Ker}(M)\cap\text{Ker}({M}^{\top})}.
Produit de Kronecker
Pour {A=\begin{pmatrix}a&b\cr c&d\end{pmatrix}\in{\mathcal M}_2(\mathbb{K})} et {M\in{\mathcal M}_n(\mathbb{K})}, soit {A\otimes M=\begin{pmatrix}aM&bM\cr cM&dM\end{pmatrix}}.
On étudie les propriétés de l’opération \otimes.
On étudie les propriétés de l’opération \otimes.
Réduction de matrices à paramètres
Diagonaliser les matrices {M(a,b,c)=\begin{pmatrix} a&b&c\cr b&a+c&b\cr c&b&a\end{pmatrix}}, pour {(a,b,c)\in\mathbb{K}^3}.
Rang d’une matrice à paramètre
Calculer le rang de {A=}{\begin{pmatrix}a^2 & a & 2 & 2a \\a & a^2 & 2a & 2 \\2 & 2a & a^2 & a \\2a & 2 & a & a^2\end{pmatrix}}
Déterminant par blocs
Soit {M,N,P,Q} dans {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})}, avec PQ=QP.
Montrer que {\det\begin{pmatrix}M&N\\ P&Q \end{pmatrix}=\det(MQ-NP)}.
Montrer que {\det\begin{pmatrix}M&N\\ P&Q \end{pmatrix}=\det(MQ-NP)}.
Inverse d’une matrice 4×4
Soit {A=}{\begin{pmatrix}1&1&1&1\cr1&1&-1&-1\cr1&-1&1&-1\cr1&-1&-1&-1\end{pmatrix}}. Calculer {A^2,A^3} puis {A^{-1}}.
Une famille de matrices 3×3
(Oral Ccp)
On étudie la famille des matrices M(a)={\begin{pmatrix}1-2a & a & a \\ a & 1-2a & a \\ a & a & 1-2a \end{pmatrix}}.
On étudie la famille des matrices M(a)={\begin{pmatrix}1-2a & a & a \\ a & 1-2a & a \\ a & a & 1-2a \end{pmatrix}}.
Inégalités entre traces
Soit {A,B} deux matrices symétriques réelles d’ordre {n}.
Montrer que {\bigl(\text{tr}(AB)\bigr)^{2}\le\text{tr}(A^{2})\,\text{tr}(B^{2})}.
Qu’obtient-on par exemple si {B=I_{n}}? Cas d’égalité?
Montrer que {\bigl(\text{tr}(AB)\bigr)^{2}\le\text{tr}(A^{2})\,\text{tr}(B^{2})}.
Qu’obtient-on par exemple si {B=I_{n}}? Cas d’égalité?
Deux isométries de l’espace
(Oral Ccp)
Identifier {\dfrac13\begin{pmatrix} 1&-2&2\\ -2&1&2\\ 2&2&1\end{pmatrix}} et {\dfrac19\begin{pmatrix}8&1&-4\\-4&4&-7\\1&8&4\end{pmatrix}}
Identifier {\dfrac13\begin{pmatrix} 1&-2&2\\ -2&1&2\\ 2&2&1\end{pmatrix}} et {\dfrac19\begin{pmatrix}8&1&-4\\-4&4&-7\\1&8&4\end{pmatrix}}
Matrice de projection orthogonale
Matrice de la projection orthogonale de {\mathbb{R}^{4}} sur {F:\begin{cases}x+y+z+t=0\\x-y+z-t=0\end{cases}}
Récurrence vectorielle
Diagonalisation et blocs
(Oral Ccp)
Soit {A\in{\mathcal M}_{n+1}(\mathbb{C})} où {\begin{cases}a_{i,1}=a_{1,i}=\delta_{i-1}\text{\ si\ }2\le i\le n+1\\a_{i,j}=0\text{\ sinon}\end{cases}}
Déterminer {\text{rg}(A)} et {\text{rg}(A^{2})}. La matrice {A} est-elle diagonalisable?
Soit {A\in{\mathcal M}_{n+1}(\mathbb{C})} où {\begin{cases}a_{i,1}=a_{1,i}=\delta_{i-1}\text{\ si\ }2\le i\le n+1\\a_{i,j}=0\text{\ sinon}\end{cases}}
Déterminer {\text{rg}(A)} et {\text{rg}(A^{2})}. La matrice {A} est-elle diagonalisable?
Polynômes caractéristique et minimal
(Oral Ccp)
Soit A dans {\mathcal M}_{5}(\mathbb{R}) inversible, telle que \text{tr}(A)=6 et {A^{3}-3A^{2}+2A=0}. Donner le polynôme caractéristique de {A}, et son polynôme annulateur unitaire minimal.
Soit A dans {\mathcal M}_{5}(\mathbb{R}) inversible, telle que \text{tr}(A)=6 et {A^{3}-3A^{2}+2A=0}. Donner le polynôme caractéristique de {A}, et son polynôme annulateur unitaire minimal.
Transposition et diagonalisation
(Oral Ccp)
Diagonalisabilité et trace de {\Phi\,\colon M\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})\mapsto \varphi(M)=M+2{M}^{\top}}.
Diagonalisabilité et trace de {\Phi\,\colon M\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})\mapsto \varphi(M)=M+2{M}^{\top}}.
Racine carrée matricielle
(Oral Ccp)
Soit {f\in{\mathcal L}(\mathbb{K}^{3})} de matrice {A=\begin{pmatrix}1&1&-1\\-1&3&-3\\-2&2&-2\end{pmatrix}} dans la base canonique.
Existe-t-il {f\in{\mathcal L}(\mathbb{K}^{3})} telle que g^2=f?
Soit {f\in{\mathcal L}(\mathbb{K}^{3})} de matrice {A=\begin{pmatrix}1&1&-1\\-1&3&-3\\-2&2&-2\end{pmatrix}} dans la base canonique.
Existe-t-il {f\in{\mathcal L}(\mathbb{K}^{3})} telle que g^2=f?
Identifier une transformation de ℝ³
(Oral Ccp)
Transformation associée à {M=\dfrac13\begin{pmatrix}2&2&-1\\-2&1&-2\\-1&2&2\end{pmatrix}}?
Transformation associée à {M=\dfrac13\begin{pmatrix}2&2&-1\\-2&1&-2\\-1&2&2\end{pmatrix}}?
Un sous-espace de matrices
(Oral Ccp)
On identifie le sous-espace {E=\left\{ M\in{\mathcal M}_n(\mathbb{R}),\;M+M^\top=2\text{tr} (M) I_n\right\}}.
On identifie le sous-espace {E=\left\{ M\in{\mathcal M}_n(\mathbb{R}),\;M+M^\top=2\text{tr} (M) I_n\right\}}.
Carré d’une matrice de rang ≤ 1
(Oral Ccp)
Soit {A\in{\mathcal M}_n(\mathbb{R})}, avec {\text{rg}(A)\le 1}.
Montrer que {A^2=\text{tr}(A)A}.
Soit {A\in{\mathcal M}_n(\mathbb{R})}, avec {\text{rg}(A)\le 1}.
Montrer que {A^2=\text{tr}(A)A}.
Base de formes linéaires
(Oral Ccp)
On pose {f(x,y,z)=2x-y+z}, {g(x,y,z)= y-z} et {h(x,y,z)=-x +4y+2z}. Montrer que f,g,h forment une base de \mathcal{L}(\mathbb{R}^3,\mathbb{R}).
On pose {f(x,y,z)=2x-y+z}, {g(x,y,z)= y-z} et {h(x,y,z)=-x +4y+2z}. Montrer que f,g,h forment une base de \mathcal{L}(\mathbb{R}^3,\mathbb{R}).
M → AM-MA avec A symétrique réelle
(Oral Tpe)
Soient {A \in S_{n}(\mathbb{R})} et {\varphi\in{\mathcal L}({\mathcal M}_{n}(\mathbb{R}))} défini par : {\varphi(M) = AM -MA}. Former une base orthonormale de diagonalisation de {\varphi}. Que vaut {\text{rg}(\varphi)}?
Soient {A \in S_{n}(\mathbb{R})} et {\varphi\in{\mathcal L}({\mathcal M}_{n}(\mathbb{R}))} défini par : {\varphi(M) = AM -MA}. Former une base orthonormale de diagonalisation de {\varphi}. Que vaut {\text{rg}(\varphi)}?
Une équation matricielle
(Oral Centrale)
Soient {A\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})} et {E_{A}=\{X\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}),AXA=0\}}.
Déterminer {\dim (E_{A})} en fonction du rang de {A}.
Soient {A\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})} et {E_{A}=\{X\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}),AXA=0\}}.
Déterminer {\dim (E_{A})} en fonction du rang de {A}.
Racines carrées matricielles
(Oral Ccp)
Déterminer le nombre de matrices B\in{\mathcal M}_3(\mathbb{C}) telles que {B^2=}{\begin{pmatrix}2&3&1\\0&-4&-2\\4&12&5 \end{pmatrix}}.
Déterminer le nombre de matrices B\in{\mathcal M}_3(\mathbb{C}) telles que {B^2=}{\begin{pmatrix}2&3&1\\0&-4&-2\\4&12&5 \end{pmatrix}}.
Racines carrées d’une matrice
(Oral Ccem)
Déterminer les matrices {A\in{\mathcal M}_{3}(\mathbb{R})} telles que {A^{2}=B=}{\begin{pmatrix}1&0&0\\1&2&0\\1&2&3\end{pmatrix}}
Déterminer les matrices {A\in{\mathcal M}_{3}(\mathbb{R})} telles que {A^{2}=B=}{\begin{pmatrix}1&0&0\\1&2&0\\1&2&3\end{pmatrix}}
Racines carrées d’une matrice
(Oral Mines-Ponts)
Trouver les {M\in{\mathcal M}_{4}(\mathbb{C})} tq {M^2=}{\begin{pmatrix}0& 1& 1& 1\\1& 0& 1& 1\\1& 1& 0& 1\\1& 1& 1& 0\end{pmatrix}}
Trouver les {M\in{\mathcal M}_{4}(\mathbb{C})} tq {M^2=}{\begin{pmatrix}0& 1& 1& 1\\1& 0& 1& 1\\1& 1& 0& 1\\1& 1& 1& 0\end{pmatrix}}
Matrice unipotente
(Oral Mines-Ponts)
Soit {M\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})} et {\omega} tel que \omega^p=1 et {\omega^{-1}\notin\text{Sp}(M)}.
Montrer que : {M^{p}=I_{n}\Leftrightarrow\displaystyle\sum_{k=0}^{p-1}\omega^{k}M^{k}=0}
Soit {M\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})} et {\omega} tel que \omega^p=1 et {\omega^{-1}\notin\text{Sp}(M)}.
Montrer que : {M^{p}=I_{n}\Leftrightarrow\displaystyle\sum_{k=0}^{p-1}\omega^{k}M^{k}=0}
Matrices par blocs et semblables
(Oral Mines-Ponts)
Soit {N_{1}\in{\mathcal M}_{p_{1}}(\mathbb{K})}, {N_{2}\in{\mathcal M}_{p_{2}}(\mathbb{K})}, nilpotentes.
Soit {U_{1}\in\text{GL}_{q_{1}}(\mathbb{K})}, {U_{2}\in\text{GL}_{q_{2}}(\mathbb{K})}.
On pose {A=\begin{pmatrix}N_{1}&0\\ 0&U_{1}\end{pmatrix}} et {B=\begin{pmatrix}N_{2}&0\\ 0&U_{2}\end{pmatrix}}.
Montrer que {A\sim B\Leftrightarrow\begin{cases}p_{1}=p_{2}\\q_{1}=q_{2}\end{cases}} et {\begin{cases}N_{1}\sim N_{2}\\U_{1}\sim U_{2}\end{cases}}
Soit {N_{1}\in{\mathcal M}_{p_{1}}(\mathbb{K})}, {N_{2}\in{\mathcal M}_{p_{2}}(\mathbb{K})}, nilpotentes.
Soit {U_{1}\in\text{GL}_{q_{1}}(\mathbb{K})}, {U_{2}\in\text{GL}_{q_{2}}(\mathbb{K})}.
On pose {A=\begin{pmatrix}N_{1}&0\\ 0&U_{1}\end{pmatrix}} et {B=\begin{pmatrix}N_{2}&0\\ 0&U_{2}\end{pmatrix}}.
Montrer que {A\sim B\Leftrightarrow\begin{cases}p_{1}=p_{2}\\q_{1}=q_{2}\end{cases}} et {\begin{cases}N_{1}\sim N_{2}\\U_{1}\sim U_{2}\end{cases}}