Diagonalisation de M->AM+MB

(Oral X-Cachan Psi)
Soient {n\in\mathbb{N}^{*}} et {A,B\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})}.
Soit {(\lambda_{i})_{i\in[[1,n]]}} et {(\mu_{i})_{i\in[[1,n]]}} les valeurs propres respectives de A et B dans \mathbb{C}.
Soit {\Phi_{A,B}\colon M\mapsto AM + MB}.

  1. Écrire la matrice (par blocs) de {\Phi_{A,B}} dans la base canonique de {{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})}.
  2. On suppose désormais que {A,B} sont diagonalisables dans \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}).
    Soit {D=\text{diag}(\lambda_{1},\ldots,\lambda_{n})} et {\Delta=\text{diag}(\mu_{1},\ldots,\mu_{n})}.
    Montrer que l’endomorphisme {\Phi_{A,B}} est semblable à {\Phi_{D,\Delta}}.
    En déduire que {\Phi_{A,B}} est diagonalisable et préciser ses valeurs propres.
  3. On va retrouver le résultat de la question 2, mais par une autre méthode.
    Soit {(X_{i})_{1\le i\le n}} une base de vecteurs propres de {A} pour les {(\lambda_{i})_{1\le i\le n}}.
    Soit {(Y_{j})_{1\le j\le n}} une base de vecteurs propres de {B^\top} pour les {(\mu_{j})_{1\le j\le n}}.
    Pour tout {i,j} dans {[[ 1,n ]]}, on forme la matrice {M_{i,j}=X_{i}\,Y_j^\top}.
    Montrer que les {M_{i,j}=X_{i}\,Y_j^\top} forment une base de diagonalisation de {\Phi_{A,B}}.

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