Matrices bistochastiques, épisode 2

On reprend ici les définitions et les notations de l’épisode 1.
On établit des propriétés usuelles des matrices bistochastiques ou de permutation.

    1. Soit \sigma et s dans {{\mathcal S}_{n}}.
      Préciser {P_{\,\text{Id}}}, {P_{s}\,P_{\sigma}}, {{P_{\sigma}}^{-1}}, {{(P_{\sigma})}^{\top}} et {P_{\sigma}^{\,m}} pour tout {m} de {\mathbb{Z}}.
    2. Soit {A} dans {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}, et soit {P_{\sigma}} une matrice de permutation d’ordre {n}.
      Décrire le passage de {A} à chacune des matrices {P_{\sigma}^{-1}A}, {AP_{\sigma}}, et {P_{\sigma}^{-1}AP_{\sigma}}.
    1. Montrer que {\mathcal{B}_{n}(\mathbb{R})} est compact et stable pour le produit des matrices.
    2. Soit {A,B} dans {\mathcal{B}_{n}(\mathbb{R})}, et {\lambda} dans {[0,1]}.
      Montrer que {C=\lambda A+(1\!-\!\lambda)B} est dans {\mathcal{B}_{n}(\mathbb{R})}.
      L’ensemble {\mathcal{B}_{n}(\mathbb{R})} est donc convexe.
    3. Soit {A}, {B} distinctes dans {\mathcal{B}_{n}(\mathbb{R})}, et soit {P_{\sigma}\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}.
      On suppose que {P_{\sigma}} est élément du segment [A\,;B].
      Montrer que nécessairement {P=A} ou {P=B}.
      Ainsi {]A\,;B[} ne contient aucune matrice de permutation.
      On dit que les matrices de permutation sont extrémales dans {\mathcal{B}_{n}(\mathbb{R})}.

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