Matrices bistochastiques, épisode 2

On reprend ici les définitions et les notations de l’épisode 1.
On établit des propriétés usuelles des matrices bistochastiques ou de permutation.

1. Soit $\sigma$ et $s$ dans ${{\mathcal S}_{n}}$ .
  Préciser ${P_{\,\text{Id}}}$ , ${P_{s}\,P_{\sigma}}$ , ${{P_{\sigma}}^{-1}}$ , ${{(P_{\sigma})}^{\top}}$ et ${P_{\sigma}^{\,m}}$ pour tout ${m}$ de ${\mathbb{Z}}$ .
2. Soit ${A}$ dans ${\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}$ , et soit ${P_{\sigma}}$ une matrice de permutation d’ordre ${n}$ .
  Décrire le passage de ${A}$ à chacune des matrices ${P_{\sigma}^{-1}A}$ , ${AP_{\sigma}}$ , et ${P_{\sigma}^{-1}AP_{\sigma}}$ .
1. Montrer que ${\mathcal{B}_{n}(\mathbb{R})}$ est compact et stable pour le produit des matrices.
2. Soit ${A,B}$ dans ${\mathcal{B}_{n}(\mathbb{R})}$ , et ${\lambda}$ dans ${[0,1]}$ .
  Montrer que ${C=\lambda A+(1\!-\!\lambda)B}$ est dans ${\mathcal{B}_{n}(\mathbb{R})}$ .
  L’ensemble ${\mathcal{B}_{n}(\mathbb{R})}$ est donc convexe.
3. Soit ${A}$ , ${B}$ distinctes dans ${\mathcal{B}_{n}(\mathbb{R})}$ , et soit ${P_{\sigma}\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}$ .
  On suppose que ${P_{\sigma}}$ est élément du segment $[A\,;B]$ .
  Montrer que nécessairement ${P=A}$ ou ${P=B}$ .
  Ainsi ${]A\,;B[}$ ne contient aucune matrice de permutation.
  On dit que les matrices de permutation sont extrémales dans ${\mathcal{B}_{n}(\mathbb{R})}$ .

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