Matrices bistochastiques, épisode 5

Pour les notations et les résultats précédents : Ep1, Ep2, Ep3, Ep4.
Soit {A} une matrice positive magique de somme {\mu>0}.
On sait qu’il existe {\sigma_{1}} dans {\mathcal{S}_{n}} tel que {\sigma_{1}(A)=\displaystyle\prod_{j=1}^{n}a_{\sigma_1(j),j}}\gt 0.

  1. On note P_{1}=P_{\sigma_{1}}. Soit \alpha_{1}=\min\{a_{\sigma_{1}(j),j},\;1\le j\le n\}.
    Montrer que A_{1}=A-\alpha_{1} P_{1} est positive, magique de somme \mu'\in[0,\mu[.
    Observer que, par rapport à A elle a au moins un coefficient nul supplémentaire.
  2. Montrer qu’on peut écrire {A=\displaystyle\sum_{k=1}^{m}\alpha_{k}P_{k}}, avec des \alpha_{k}>0 tels que {\displaystyle\sum_{k=1}^{m}\alpha_{k}=\mu}, les P_{k} étant des matrices de permutation.
    Cas particulier: si A est bistochastique (\mu=1), cela signifie qu’elle peut s’écrire comme barycentre à coefficients strictement positifs de matrices de permutation.

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