Matrices bistochastiques, épisode 1

Soit {A=(a_{i,j})_{0\le i,j\le n-1}} dans {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}.
On dit que A est {\mu}magique si la somme de chaque ligne et de chaque colonne vaut {\mu}.
On dit que {A} est bistochastique si A est {1}-magique et si les {a_{i,j}} sont positifs ou nuls.
On note {\mathcal{S}_n} l’ensemble des permutations de {[[0,n\!-\!1]]}.
Pour {\sigma\in\mathcal{S}_n} on note {P_{\sigma}} la matrice de terme général {p_{i,j}=\delta_{i,\sigma(j)}}.
On note {\mathcal{B}_n(\mathbb{R})} l’ensemble des matrices bistochastiques d’ordre n.
On note {\mathcal{P}_n(\mathbb{R})\subset\,\mathcal{B}_n(\mathbb{R})} l’ensemble des matrices de permutations {P_{\sigma}} d’ordre n.

  1. Écrire une fonction matperm, d’argument une liste {L=[\sigma(0),\sigma(1),\ldots,\sigma(n\!-\!1)]} représentant une permutation {\sigma\in\mathcal{S}_{n}}, et renvoyant la matrice de permutation {P_{\sigma}}. En déduire une fonction randmatperm, d’argument {n\ge1}, renvoyant une matrice aléatoire de permutation (utiliser les bibliothèques numpy et random).
  2. Écrire une fonction randbisto, d’argument {n\in\mathbb{N}^{*}}, renvoyant une matrice pseudo-aléatoire {A} de {\mathcal{B}_{n}(\mathbb{R})} (former un barycentre de {n^{2}} matrices {P_{\sigma}} aléatoires).
    Écrire une fonction randmagique, d’arguments {n\in\mathbb{N}^{*}} et {\mu\in\mathbb{N}^{*}}, renvoyant une matrice magique pseuso-aléatoire d’ordre {n}, de somme {\mu}, et à coefficients dans {\mathbb{N}}. L’unique objectif est de disposer facilement de matrices bistochastiques ou magiques de somme donnée, sans réfléchir au caractère représentatif de ces matrices pseudo-aléatoires.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez : Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez : Mathprepa.fr est le site des mathématiques et de l'informatique des deux années des classes prépa scientifiques: plus de 2500 exercices et 200 problèmes (soigneusement corrigés), un cours complet (maths et info), plus de 400 sujets de concours, des Quiz (plus de 600 questions), etc. Un contenu sans équivalent, dans une présentation fluide et professionnelle adaptée à tous les écrans, pour une souscription de 15€ (6 mois), 25€ (1 an) ou 35€ (2 ans).