Matrices bistochastiques, épisode 4

{A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}

, et pour

{\sigma\in\mathcal{S}_{n}}

, on note

{\sigma(A)=\displaystyle\prod_{j=1}^{n}a_{\sigma(j),j}}

.
On dit que

{A}

est traversable s’il existe

{\sigma\in\mathcal{S}_{n}}

telle que

{\sigma(A)\ne0}

.
On souhaite montrer l’équivalence des propositions:

{(\star)\quad}

{A}

n’est pas traversable

{(\star\star)}

{A}

possède une sous-matrice nulle de taille

{r\times s}

, où

{r+s=n+1}

Montrer que permuter les lignes ou colonnes ne modifie pas la traversabilité.
Prouver que ${(\star\star)}$ implique ${(\star)}$ .
Établir que ${(\star)}$ implique ${(\star\star)}$ par récurrence sur ${n}$ .
En déduire que toute matrice magique de somme ${\mu>0}$ (et en particulier toute matrice bistochastique) est traversable (raisonner par l’absurde).

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