QCM (applications linéaires)
Un questionnaire à choix unique (pour chacune des 19 questions, une seule des 4 réponses proposées est correcte) sur le thème « Applications linéaires ».
Algèbre linéaire
QCM (algèbre linéaire)
Un questionnaire à choix unique (pour chacune des 19 questions, une seule des 4 réponses proposées est correcte) sur le thème « Algèbre linéaire ».
Décomposition en nilpotents
(Oral Centrale) On montre que tout endomorphisme non inversible d’un {\mathbb{C}}-espace de dimension finie est le composé d’au plus trois endomorphismes nilpotents.
Équation au crochet de Lie
(Oral Centrale) On définit le crochet de Lie dans {\mathcal{M}_n(\mathbb{C})} par {[A,B]=AB-BA}. On détermine les matrices {A} telles qu’on ait toujours {[A,[A,[A,T]] = [A,T]}.
Opérateur Δ sur les polynômes
(Oral Centrale). À l’aide de l’opérateur {\Delta} sur les polynômes, on étudie les séries entières de la forme {\sum P(n)x^n}, où {P} est un polynôme donné.
Essouflement des noyaux
(Oral Mines-Ponts)
Soit {E} un espace vectoriel de dimension finie.
Soit {u\in\mathcal{L}(E)}. On note {\begin{cases}n_k=\dim\text{Ker} (u^k)\\ d_k=n_{k+1}-n_{k}\end{cases}}
Montrer que {(d_k)} est décroissante.
Soit {E} un espace vectoriel de dimension finie.
Soit {u\in\mathcal{L}(E)}. On note {\begin{cases}n_k=\dim\text{Ker} (u^k)\\ d_k=n_{k+1}-n_{k}\end{cases}}
Montrer que {(d_k)} est décroissante.
Projecteur composé de nilpotents
(Oral Mines-Ponts)
Pour {1\le i,j,k\le n}, soit {a_{ij}^{(k)}=\begin{cases}1\text{\ si\ }i=j+k\\0\text{\ sinon}\end{cases}}
Soit {A_{k}=\left(a_{ij}^{(k)}\right)_{1\leq i,j\leq n}}. Calculer {M_k=A_{k}^{\top}A_{k}}.
Soit {p\neq \text{Id}} un projecteur de {\mathbb{R}^{n}}. Montrer que {p} est la composée de deux endomorphismes nilpotents.
Pour {1\le i,j,k\le n}, soit {a_{ij}^{(k)}=\begin{cases}1\text{\ si\ }i=j+k\\0\text{\ sinon}\end{cases}}
Soit {A_{k}=\left(a_{ij}^{(k)}\right)_{1\leq i,j\leq n}}. Calculer {M_k=A_{k}^{\top}A_{k}}.
Soit {p\neq \text{Id}} un projecteur de {\mathbb{R}^{n}}. Montrer que {p} est la composée de deux endomorphismes nilpotents.
Une forme linéaire sur Rn[X]
(Oral Centrale)
Soit {L} la forme linéaire définie sur {E=\mathbb{R}_{n}[X]} par :{\forall P\in E,\;L(P)=\displaystyle\displaystyle\int_{-1}^{1}P(x)dx}On se donne {-1\leq x_{0}\lt ...\lt x_{n}\leq 1}.
Montrer qu’il existe {(\lambda _{0},\ldots\lambda _{n})\in \mathbb{R}^{n+1}} tel que : {\forall P\in E,\;L(P)=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\lambda _{k}P(x_{k})}
Soit {L} la forme linéaire définie sur {E=\mathbb{R}_{n}[X]} par :{\forall P\in E,\;L(P)=\displaystyle\displaystyle\int_{-1}^{1}P(x)dx}On se donne {-1\leq x_{0}\lt ...\lt x_{n}\leq 1}.
Montrer qu’il existe {(\lambda _{0},\ldots\lambda _{n})\in \mathbb{R}^{n+1}} tel que : {\forall P\in E,\;L(P)=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\lambda _{k}P(x_{k})}
Réciproque de P ↦ P-P’
(Oral Mines-Ponts)
Soit {B\in \mathbb{R}[X]}.
Montrer : {\exists!\;A\in\mathbb{R}[X],A-A^{\prime}=B}.
Montrer que si {B\ge0} sur {\mathbb{R}}, alors {A} aussi.
Soit {B\in \mathbb{R}[X]}.
Montrer : {\exists!\;A\in\mathbb{R}[X],A-A^{\prime}=B}.
Montrer que si {B\ge0} sur {\mathbb{R}}, alors {A} aussi.
Opérateur Delta sur les polynômes
(Oral Centrale)
Sur {\mathbb{R}_{n}[X]}, avec {n\ge1}, on pose {\Delta(P(X))=P(X+1)-P(X)}Montrer que {\Delta} est nilpotent. En déduire : {\forall\, P\in\mathbb{R}_{n-1}[X],\;\displaystyle\displaystyle\sum_{j=0}^{n}(-1)^{n-j}\binom{n}{j} P(X\!+\!j)=0}
Sur {\mathbb{R}_{n}[X]}, avec {n\ge1}, on pose {\Delta(P(X))=P(X+1)-P(X)}Montrer que {\Delta} est nilpotent. En déduire : {\forall\, P\in\mathbb{R}_{n-1}[X],\;\displaystyle\displaystyle\sum_{j=0}^{n}(-1)^{n-j}\binom{n}{j} P(X\!+\!j)=0}
Moyenne des itérés de u quand um = Id
(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit {u\in\mathcal{L}(E)} tel que {u^{m}=\text{Id}} et {p=\dfrac{1}{m}\displaystyle\sum_{k=0}^{m-1}u^k}.
Montrer que {p^2=p} et
{\dim \text{Ker}(u-\text{Id})=\dfrac{1}{m}\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{m-1}\text{tr}(u^{k})}.
Soit {u\in\mathcal{L}(E)} tel que {u^{m}=\text{Id}} et {p=\dfrac{1}{m}\displaystyle\sum_{k=0}^{m-1}u^k}.
Montrer que {p^2=p} et
{\dim \text{Ker}(u-\text{Id})=\dfrac{1}{m}\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{m-1}\text{tr}(u^{k})}.
Polynômes dérivés successifs
(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit {(a_{0},a_{1},\ldots,a_{n})\in\mathbb{C}^{n+1}}. À quelle condition a-t-on:
{\forall Q\in\mathbb{C}_{n}[X],\;\exists P\in\mathbb{C}_{n}[X],\;Q=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}a_{k}P^{(k)}}
Soit {(a_{0},a_{1},\ldots,a_{n})\in\mathbb{C}^{n+1}}. À quelle condition a-t-on:
{\forall Q\in\mathbb{C}_{n}[X],\;\exists P\in\mathbb{C}_{n}[X],\;Q=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}a_{k}P^{(k)}}
Déterminant et trace de la transposition
(Oral Mines-Ponts 2018)
Déterminant et trace de {u\in\mathcal{L}(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}))} défini par {u(M)=M^{T}}.
Déterminant et trace de {u\in\mathcal{L}(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}))} défini par {u(M)=M^{T}}.
Vect des matrices nilpotentes
(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit {n\geq 2}, et {\mathcal{N}=\{M\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}),\;M^{n}=0\}}. Déterminer Vect{(\mathcal{N})}.
Soit {n\geq 2}, et {\mathcal{N}=\{M\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}),\;M^{n}=0\}}. Déterminer Vect{(\mathcal{N})}.
Une base de Kn[X]
(Oral Mines-Ponts)
Soient {P\in \mathbb{K}[X]}, de degré {n}, et soient {a_{0},...,a_{n}} distincts dans {\mathbb{K}}.
Montrer que les polynômes {P_j(X)=P(X+a_{j})} forment une base de {\mathbb{K}_{n}[X]}.
Soient {P\in \mathbb{K}[X]}, de degré {n}, et soient {a_{0},...,a_{n}} distincts dans {\mathbb{K}}.
Montrer que les polynômes {P_j(X)=P(X+a_{j})} forment une base de {\mathbb{K}_{n}[X]}.
Formes linéaires coordonnées
Exercices sur le thème « formes linéaires »
Changements de base (2/2)
Exercices sur le thème « matrices semblables et changements de bases » (2/2)
Changements de base (1/2)
Exercices sur le thème « matrices semblables et changements de bases » (1/2)
Image, noyau, rang (3/3)
Exercices sur le thème « Image, noyau, rang » (3/3)
Image, noyau, rang (2/3)
Exercices sur le thème « Image, noyau, rang d’une application linéaire » (2/3)
Image, noyau, rang (1/3)
Exercices sur le thème « Image, noyau, rang d’une application linéaire » (1/3)
Matrices et applications linéaires
Exercices sur le thème « Matrices et applications linéaires »
Formes linéaires
Exercices sur le thème « formes linéaires ».
Applications linéaires en dim finie (3/3)
Exercices sur le thème « Applications linéaires en dimension finie » (3/3)
Applications linéaires en dim finie (2/3)
Exercices sur le thème « Applications linéaires en dimension finie » (2/3)
Applications linéaires en dim finie (1/3)
Exercices sur le thème « Applications linéaires en dimension finie » (1/3)
Applications linéaires (4/4)
Exercices sur le thème « applications linéaires » (4/4).
Applications linéaires (3/4)
Exercices sur le thème “applications linéaires” (3/4).
Applications linéaires (2/4)
Exercices sur le thème « applications linéaires » (2/4).
Applications linéaires (1/4)
Exercices sur le thème « applications linéaires » (1/4).
Espaces de dimension finie
Exercices sur le thème « Espaces vectoriels de dimension finie ».
Sommes de sous-espaces vectoriels
Exercices sur le thème « Sommes de sous-espaces vectoriels ».
Familles libres, génératrices, bases (2/2)
Exercices sur le thème « Familles libres, génératrices, bases » (2/2).
Familles libres, génératrices, bases (1/2)
Exercices sur le thème « Familles libres, génératrices, bases » (1/2).
Espaces et sous-espaces vectoriels
Exercices sur le thème « Espaces et sous-espaces vectoriels ».
Commutant d’un endo scindé simple
Soit {u\in\mathcal{L}(E)} (où {\dim(E)=n\ge1}) ayant {n} valeurs propres distinctes.
Soit {v\in\mathcal{L}(E)}. Montrer {uv=vu} si et seulement si {v} s’écrit {\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}a_{k}u^{k}}.
Soit {v\in\mathcal{L}(E)}. Montrer {uv=vu} si et seulement si {v} s’écrit {\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}a_{k}u^{k}}.
Valeurs propres de uv et de vu
Soit {u} et {v} deux endomorphismes d’un {\mathbb{K}}-espace vectoriel {E}.
Comparer les valeurs propres de uv et celles de vu.
Comparer les valeurs propres de uv et celles de vu.
Projecteurs de somme IdE
Soit {E} un {\mathbb{K}}-ev de dimension finie, et {p_1,\ldots,p_n} des projecteurs tels que {\sum_{j=1}^n p_j=\text{Id}_E}.
Montrer que {E=\displaystyle\bigoplus_{i=1}^{n}\text{Im}(p_i)}, et {i\ne j\Rightarrow p_i p_j=0}.
Montrer que {E=\displaystyle\bigoplus_{i=1}^{n}\text{Im}(p_i)}, et {i\ne j\Rightarrow p_i p_j=0}.
Pas de polynôme annulateur non nul
Montrer le seul polynôme annulateur de u,v,w (éléments de \mathcal{L}(\mathbb{K}[X]) est 0 :
{u(P)=P',\;v(P)=XP(X),\;w(P)=P(X\!+\!1)}
{u(P)=P',\;v(P)=XP(X),\;w(P)=P(X\!+\!1)}
Petit lemme des noyaux
Soit {f\in\mathcal{L}(E)} et {\alpha\ne\beta} dans {\mathbb{K}}. Montrer que:
{\begin{array}{l}\text{Ker}(f^2-(\alpha+\beta)f+\alpha\beta\text{Id})\\[3pts]\quad=\text{Ker}(f-\alpha\text{Id})\oplus\text{Ker}(f-\beta\text{Id})\end{array}}
{\begin{array}{l}\text{Ker}(f^2-(\alpha+\beta)f+\alpha\beta\text{Id})\\[3pts]\quad=\text{Ker}(f-\alpha\text{Id})\oplus\text{Ker}(f-\beta\text{Id})\end{array}}
Grassmann pour trois sous-espaces?
Soit {F,G,H} trois sous-espaces d’un {\mathbb{K}}-espace vectoriel {E} de dimension finie.
Y a-t-il un analogue de la formule de Grassmann pour \dim(F+G+H)?
Y a-t-il un analogue de la formule de Grassmann pour \dim(F+G+H)?
Transformations en somme directe
Soit {F_1,\ldots,F_p} des sous-espaces de {E} tels que {E=F_1+\cdots+F_p}. Montrer qu’il existe des sous-espaces {G_2,\ldots,G_p} de {E} tels que {G_j\subset F_j} et {E=F_1\oplus G_2\oplus\cdots\oplus G_p}.
Endomorphismes tels que f3 = Id
Dans un espace vectoriel E sur {\mathbb{K}}, on caractérise les endomorphismes f tels que {f^3=\text{Id}} par des sommes directes.
Sommes directes de polynômes
On définit les trois sous-espaces de {E=\mathbb{K}_3[X]} :
{\begin{cases}F=\{P\in E, P(0)=P(1)=P(2)=0\}\\G=\{P\in E, P(1)=P(2)=P(3)=0\}\\H=\{P\in E, P(X)=P(-X)\}\end{cases}}Caractériser {F\oplus G} et montrer {E=F\oplus G\oplus H}
{\begin{cases}F=\{P\in E, P(0)=P(1)=P(2)=0\}\\G=\{P\in E, P(1)=P(2)=P(3)=0\}\\H=\{P\in E, P(X)=P(-X)\}\end{cases}}Caractériser {F\oplus G} et montrer {E=F\oplus G\oplus H}
Supplémentaires isomorphes
Soit F un sous-espace d’un espace vectoriel E.
Montrer que les supplémentaires de F dans E sont isomorphes.
Montrer que les supplémentaires de F dans E sont isomorphes.
Caractérisation de somme directe
Soit {A,B,C,D} des sous-espaces vectoriels de {E}.
Montrer que {A+B+C+D} est directe si et seulement si : {\begin{array}{l}(A\!+\!B)\cap(C\!+\!D)=(A\!+\!C)\cap(B\!+\!D)\\\quad=(A\!+\!D)\cap(B\!+\!C)=\{0\}\end{array}}
Montrer que {A+B+C+D} est directe si et seulement si : {\begin{array}{l}(A\!+\!B)\cap(C\!+\!D)=(A\!+\!C)\cap(B\!+\!D)\\\quad=(A\!+\!D)\cap(B\!+\!C)=\{0\}\end{array}}
Base dont l’image est orthogonale
(Oral Mines-Ponts)
Soit {u\in\mathcal{L}(E)}, où {E} est euclidien. Prouver l’existence d’une base {(e_{1},\ldots ,e_{n})} de {E} telle que la famille {(u(e_{1}),\cdots,u(e_{n}))} soit orthogonale.
Soit {u\in\mathcal{L}(E)}, où {E} est euclidien. Prouver l’existence d’une base {(e_{1},\ldots ,e_{n})} de {E} telle que la famille {(u(e_{1}),\cdots,u(e_{n}))} soit orthogonale.
Une base de Cn[X]
(Oral Mines-Ponts)
Soient {(z_{j})_{0\leq j\leq n}} des nombres complexes distincts.
Montrer que la famille {((X-z_{j})^{n})_{0\leq j\leq n}} est une base de {\mathbb{C}_{n}[X]}
Soient {(z_{j})_{0\leq j\leq n}} des nombres complexes distincts.
Montrer que la famille {((X-z_{j})^{n})_{0\leq j\leq n}} est une base de {\mathbb{C}_{n}[X]}
Une récurrence linéaire d’ordre 3
(Oral Ccp)
Étude des suites de \mathbb{C}^{\mathbb{N}} telles que \forall\, n\in\mathbb{N},\;4u_{n+3}=3u_{n+2}+6u_{n+1}+4u_{n}.
Étude des suites de \mathbb{C}^{\mathbb{N}} telles que \forall\, n\in\mathbb{N},\;4u_{n+3}=3u_{n+2}+6u_{n+1}+4u_{n}.
Endomorphismes tels que f2 = -Id
(Oral Xcachan)
Soit {E} un {\mathbb{R}}-ev de dimension finie. Soit {f\in\mathcal{L}(E)} avec {f^2=-\text{Id}_{E}}. On montre que dans une certaine base de E la matrice de f est diagonale par blocs égaux à {R=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}.
Soit {E} un {\mathbb{R}}-ev de dimension finie. Soit {f\in\mathcal{L}(E)} avec {f^2=-\text{Id}_{E}}. On montre que dans une certaine base de E la matrice de f est diagonale par blocs égaux à {R=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}.