QCM (applications linéaires)
Un questionnaire à choix unique (pour chacune des 19 questions, une seule des 4 réponses proposées est correcte) sur le thème « Applications linéaires ».
Algèbre linéaire
QCM (algèbre linéaire)
Un questionnaire à choix unique (pour chacune des 19 questions, une seule des 4 réponses proposées est correcte) sur le thème « Algèbre linéaire ».
Décomposition en nilpotents
(Oral Centrale) On montre que tout endomorphisme non inversible d’un {\mathbb{C}}-espace de dimension finie est le composé d’au plus trois endomorphismes nilpotents.
Équation au crochet de Lie
(Oral Centrale) On définit le crochet de Lie dans {\mathcal{M}_n(\mathbb{C})} par {[A,B]=AB-BA}. On détermine les matrices {A} telles qu’on ait toujours {[A,[A,[A,T]] = [A,T]}.
Opérateur Δ sur les polynômes
(Oral Centrale). À l’aide de l’opérateur {\Delta} sur les polynômes, on étudie les séries entières de la forme {\sum P(n)x^n}, où {P} est un polynôme donné.
Essouflement des noyaux
(Oral Mines-Ponts)
Soit {E} un espace vectoriel de dimension finie.
Soit {u\in\mathcal{L}(E)}. On note {\begin{cases}n_k=\dim\text{Ker} (u^k)\\ d_k=n_{k+1}-n_{k}\end{cases}}
Montrer que {(d_k)} est décroissante.
Soit {E} un espace vectoriel de dimension finie.
Soit {u\in\mathcal{L}(E)}. On note {\begin{cases}n_k=\dim\text{Ker} (u^k)\\ d_k=n_{k+1}-n_{k}\end{cases}}
Montrer que {(d_k)} est décroissante.
Projecteur composé de nilpotents
(Oral Mines-Ponts)
Pour {1\le i,j,k\le n}, soit {a_{ij}^{(k)}=\begin{cases}1\text{\ si\ }i=j+k\\0\text{\ sinon}\end{cases}}
Soit {A_{k}=\left(a_{ij}^{(k)}\right)_{1\leq i,j\leq n}}. Calculer {M_k=A_{k}^{\top}A_{k}}.
Soit {p\neq \text{Id}} un projecteur de {\mathbb{R}^{n}}. Montrer que {p} est la composée de deux endomorphismes nilpotents.
Pour {1\le i,j,k\le n}, soit {a_{ij}^{(k)}=\begin{cases}1\text{\ si\ }i=j+k\\0\text{\ sinon}\end{cases}}
Soit {A_{k}=\left(a_{ij}^{(k)}\right)_{1\leq i,j\leq n}}. Calculer {M_k=A_{k}^{\top}A_{k}}.
Soit {p\neq \text{Id}} un projecteur de {\mathbb{R}^{n}}. Montrer que {p} est la composée de deux endomorphismes nilpotents.
Une forme linéaire sur Rn[X]
(Oral Centrale)
Soit {L} la forme linéaire définie sur {E=\mathbb{R}_{n}[X]} par :{\forall P\in E,\;L(P)=\displaystyle\displaystyle\int_{-1}^{1}P(x)dx}On se donne {-1\leq x_{0}\lt ...\lt x_{n}\leq 1}.
Montrer qu’il existe {(\lambda _{0},\ldots\lambda _{n})\in \mathbb{R}^{n+1}} tel que : {\forall P\in E,\;L(P)=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\lambda _{k}P(x_{k})}
Soit {L} la forme linéaire définie sur {E=\mathbb{R}_{n}[X]} par :{\forall P\in E,\;L(P)=\displaystyle\displaystyle\int_{-1}^{1}P(x)dx}On se donne {-1\leq x_{0}\lt ...\lt x_{n}\leq 1}.
Montrer qu’il existe {(\lambda _{0},\ldots\lambda _{n})\in \mathbb{R}^{n+1}} tel que : {\forall P\in E,\;L(P)=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\lambda _{k}P(x_{k})}
Réciproque de P ↦ P-P’
(Oral Mines-Ponts)
Soit {B\in \mathbb{R}[X]}.
Montrer : {\exists!\;A\in\mathbb{R}[X],A-A^{\prime}=B}.
Montrer que si {B\ge0} sur {\mathbb{R}}, alors {A} aussi.
Soit {B\in \mathbb{R}[X]}.
Montrer : {\exists!\;A\in\mathbb{R}[X],A-A^{\prime}=B}.
Montrer que si {B\ge0} sur {\mathbb{R}}, alors {A} aussi.
Opérateur Delta sur les polynômes
(Oral Centrale)
Sur {\mathbb{R}_{n}[X]}, avec {n\ge1}, on pose {\Delta(P(X))=P(X+1)-P(X)}Montrer que {\Delta} est nilpotent. En déduire : {\forall\, P\in\mathbb{R}_{n-1}[X],\;\displaystyle\displaystyle\sum_{j=0}^{n}(-1)^{n-j}\binom{n}{j} P(X\!+\!j)=0}
Sur {\mathbb{R}_{n}[X]}, avec {n\ge1}, on pose {\Delta(P(X))=P(X+1)-P(X)}Montrer que {\Delta} est nilpotent. En déduire : {\forall\, P\in\mathbb{R}_{n-1}[X],\;\displaystyle\displaystyle\sum_{j=0}^{n}(-1)^{n-j}\binom{n}{j} P(X\!+\!j)=0}
Moyenne des itérés de u quand um = Id
(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit {u\in\mathcal{L}(E)} tel que {u^{m}=\text{Id}} et {p=\dfrac{1}{m}\displaystyle\sum_{k=0}^{m-1}u^k}.
Montrer que {p^2=p} et
{\dim \text{Ker}(u-\text{Id})=\dfrac{1}{m}\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{m-1}\text{tr}(u^{k})}.
Soit {u\in\mathcal{L}(E)} tel que {u^{m}=\text{Id}} et {p=\dfrac{1}{m}\displaystyle\sum_{k=0}^{m-1}u^k}.
Montrer que {p^2=p} et
{\dim \text{Ker}(u-\text{Id})=\dfrac{1}{m}\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{m-1}\text{tr}(u^{k})}.
Polynômes dérivés successifs
(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit {(a_{0},a_{1},\ldots,a_{n})\in\mathbb{C}^{n+1}}. À quelle condition a-t-on:
{\forall Q\in\mathbb{C}_{n}[X],\;\exists P\in\mathbb{C}_{n}[X],\;Q=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}a_{k}P^{(k)}}
Soit {(a_{0},a_{1},\ldots,a_{n})\in\mathbb{C}^{n+1}}. À quelle condition a-t-on:
{\forall Q\in\mathbb{C}_{n}[X],\;\exists P\in\mathbb{C}_{n}[X],\;Q=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}a_{k}P^{(k)}}
Déterminant et trace de la transposition
(Oral Mines-Ponts 2018)
Déterminant et trace de {u\in\mathcal{L}(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}))} défini par {u(M)=M^{T}}.
Déterminant et trace de {u\in\mathcal{L}(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}))} défini par {u(M)=M^{T}}.
Vect des matrices nilpotentes
(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit {n\geq 2}, et {\mathcal{N}=\{M\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}),\;M^{n}=0\}}. Déterminer Vect{(\mathcal{N})}.
Soit {n\geq 2}, et {\mathcal{N}=\{M\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}),\;M^{n}=0\}}. Déterminer Vect{(\mathcal{N})}.
Une base de Kn[X]
(Oral Mines-Ponts)
Soient {P\in \mathbb{K}[X]}, de degré {n}, et soient {a_{0},...,a_{n}} distincts dans {\mathbb{K}}.
Montrer que les polynômes {P_j(X)=P(X+a_{j})} forment une base de {\mathbb{K}_{n}[X]}.
Soient {P\in \mathbb{K}[X]}, de degré {n}, et soient {a_{0},...,a_{n}} distincts dans {\mathbb{K}}.
Montrer que les polynômes {P_j(X)=P(X+a_{j})} forment une base de {\mathbb{K}_{n}[X]}.
Formes linéaires coordonnées
Exercices sur le thème « formes linéaires »
Changements de base (2/2)
Exercices sur le thème « matrices semblables et changements de bases » (2/2)
Changements de base (1/2)
Exercices sur le thème « matrices semblables et changements de bases » (1/2)
Image, noyau, rang (3/3)
Exercices sur le thème « Image, noyau, rang » (3/3)
Image, noyau, rang (2/3)
Exercices sur le thème « Image, noyau, rang d’une application linéaire » (2/3)