Algèbre linéaire
Exercices corrigés de Math Sup et Math Spé (posés aux concours Polytechnique, Ens, Mines-Ponts, Centrale, Ccp, etc.) sur le thème « Algèbre linéaire »

Grassmann pour trois sous-espaces?

Soit

{F,G,H}

trois sous-espaces d’un

{\mathbb{K}}

-espace vectoriel

{E}

de dimension finie.
Y a-t-il un analogue de la formule de Grassmann pour

\dim(F+G+H)

➡️

Transformations en somme directe

Soit

{F_1,\ldots,F_p}

des sous-espaces de

{E}

tels que

{E=F_1+\cdots+F_p}

. Montrer qu’il existe des sous-espaces

{G_2,\ldots,G_p}

{E}

tels que

{G_j\subset F_j}

{E=F_1\oplus G_2\oplus\cdots\oplus G_p}

➡️

Endomorphismes tels que f³ = Id

Dans un espace vectoriel

E

sur

{\mathbb{K}}

, on caractérise les endomorphismes

f

tels que

{f^3=\text{Id}}

par des sommes directes.

➡️

Sommes directes de polynômes

On définit les trois sous-espaces de

{E=\mathbb{K}_3[X]}

{\begin{cases}F=\{P\in E, P(0)=P(1)=P(2)=0\}\\G=\{P\in E, P(1)=P(2)=P(3)=0\}\\H=\{P\in E, P(X)=P(-X)\}\end{cases}}

Caractériser

{F\oplus G}

et montrer

{E=F\oplus G\oplus H}

➡️

Supplémentaires isomorphes

Soit

F

un sous-espace d’un espace vectoriel

E

.
Montrer que les supplémentaires de

F

dans

E

sont isomorphes.

➡️

Caractérisation de somme directe

Soit

{A,B,C,D}

des sous-espaces vectoriels de

{E}

.
Montrer que

{A+B+C+D}

est directe si et seulement si :

{\begin{array}{l}(A\!+\!B)\cap(C\!+\!D)=(A\!+\!C)\cap(B\!+\!D)\\\quad=(A\!+\!D)\cap(B\!+\!C)=\{0\}\end{array}}

➡️

Base dont l’image est orthogonale

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{u\in\mathcal{L}(E)}

, où

{E}

est euclidien. Prouver l’existence d’une base

{(e_{1},\ldots ,e_{n})}

{E}

telle que la famille

{(u(e_{1}),\cdots,u(e_{n}))}

soit orthogonale.

➡️

Une base de C_n[X]

(Oral Mines-Ponts)
Soient

{(z_{j})_{0\leq j\leq n}}

des nombres complexes distincts.
Montrer que la famille

{((X-z_{j})^{n})_{0\leq j\leq n}}

est une base de

{\mathbb{C}_{n}[X]}

➡️

Une récurrence linéaire d’ordre 3

(Oral Ccp)
Étude des suites de

\mathbb{C}^{\mathbb{N}}

telles que

\forall\, n\in\mathbb{N},\;4u_{n+3}=3u_{n+2}+6u_{n+1}+4u_{n}

➡️

Endomorphismes tels que f² = -Id

(Oral Xcachan)
Soit

{E}

{\mathbb{R}}

-ev de dimension finie. Soit

{f\in\mathcal{L}(E)}

avec

{f^2=-\text{Id}_{E}}

. On montre que dans une certaine base de

E

la matrice de

f

est diagonale par blocs égaux à

{R=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}

➡️

Diagonalisation et polynômes

(Oral Ccp)
Montrer que

{\Phi\colon P(X)\mapsto X^{n}P(1/X)}

est diagonalisable dans

{\mathbb{R}_{n}[X]}

➡️

Indépendance de formes linéaires

(Oral Centrale)
Soit

{(f_{1},\ldots ,f_{p})}

des formes linéaires sur

{E}

, avec

\dim(E)=p

. Montrer

i)\Leftrightarrow ii)\Leftrightarrow iii)

i)

la famille

{(f_{1},\ldots,f_{p})}

est libre;

ii)

{\varphi :x\in E\mapsto(f_{1}(x),\ldots,f_{p}(x))}

est surjective;

iii)

{\exists\, (x_{1},\ldots,x_{p})\in E^{p}}

{\det(f_{i}(x_{j}))_{1\leq i,j\leq p}\neq 0}

➡️

Noyau et image de f et f^2

(Oral Ccp)
Avec

f\in\mathcal{L}(E)

, on étudie les égalités

{\text{Ker}(f)=\text{Ker}(f^2)}

{\text{Im}(f)=\text{Im}(f^2)}

➡️

Un sous-espace de matrices

(Oral Ccp)
On identifie le sous-espace

{E=\left\{ M\in{\mathcal M}_n(\mathbb{R}),\;M+M^\top=2\text{tr} (M) I_n\right\}}

➡️

Carré d’une matrice de rang ≤ 1

(Oral Ccp)
Soit

{A\in{\mathcal M}_n(\mathbb{R})}

, avec

{\text{rg}(A)\le 1}

.
Montrer que

{A^2=\text{tr}(A)A}

➡️

Base de formes linéaires

(Oral Ccp)
On pose

{f(x,y,z)=2x-y+z}

{g(x,y,z)= y-z}

{h(x,y,z)=-x +4y+2z}

. Montrer que

f,g,h

forment une base de

\mathcal{L}(\mathbb{R}^3,\mathbb{R})

➡️

Une base de polynômes

(Oral Ccp)
Montrer que les

{P_k=X^k(1-X)^{n-k}}

(avec

{0\le k\le n}

) forment une base de

{\mathbb{R}_n[X]}

.
Exprimer

{1,X,\cdots ,X^n}

dans cette base.

➡️

Endomorphisme et produit vectoriel

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{u}

dans

{E}

euclidien orienté de dimension

{3}

.
Déterminer les

{f\in\mathcal{L}(E)}

tels que

{x\wedge u}

f(x)

sont liés pour tout

{x\in E}

➡️

Diagonalisation et hyperplans stables

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{f\in\mathcal{L}(\mathbb{K}^n)}

, avec

{n\ge1}

. Montrer que

(a)\Leftrightarrow(b)

:
(a) l’endomorphisme

{f}

est diagonalisable,
(b) il existe

{n}

hyperplans

{H_{1},\cdots,H_{n}}

stables par

{f}

tels que

{H_{1}\cap\cdots\cap H_{n} = \{0\}}

➡️

Projecteur p vérifiant u = pu – up ?

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{u}

un endomorphisme d’un

\mathbb{K}

-espace vectoriel

{E}

.
À quelle condition existe-t-il un projecteur

{p}

{E}

vérifiant

{u= pu-up\,}

➡️