Algèbre linéaire
Exercices corrigés de Math Sup et Math Spé (posés aux concours Polytechnique, Ens, Mines-Ponts, Centrale, Ccp, etc.) sur le thème « Algèbre linéaire »

Racine carrée de la dérivation?

(Oral Mines-Ponts)
Soient

{E_{1}}

le plan de

{E={\mathcal C}^{\infty}(\mathbb{R},\mathbb{R})}

engendré par

x\mapsto\sin x

x\mapsto \cos x

.
Existe-t-il

{u\in{\mathcal L}(E_1)}

tel que :

{\forall f\in E_1,\;u^{2}(f)=f'\;}

?
Existe-t-il

{v\in{\mathcal L}(E)}

tel que :

{\forall f\in E,\;v^{2}(f)=f'\;}

➡️

Commutant d’un nilpotent

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{u \in{\mathcal L}(E)}

, avec

\dim(E)=n

. On suppose

{u^{n}=0}

{u^{n-1}\ne0}

. Déterminer les sous-espaces vectoriels de

{E}

stables par

{u}

. Déterminer

{\mathcal{C}(u)=\{f\in {\mathcal L}(E),\;fu=uf\}}

.
Quelle est sa dimension?

➡️

Isomorphisme entre L(E) et E^n

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{E}

{\mathbb{K}}

-espace vectoriel de dimension

{n\in\mathbb{N}^{*}}

. Soit

{(e_{k})_{1\le k\le n}}

dans

{E}

.
Soit

{\varphi\colon{\mathcal L}(E)\rightarrow E^{n}}

défini par

{\varphi(u)=(u(e_{1}),\ldots,u(e_{n}))}

. Montrer que

{\varphi}

est linéaire, et que c’est un isomorphisme si et seulement si

{(e_{k})_{1\le k\le n}}

est une base de

{E}

➡️

Les cos(kx) et sin(kx) sont libres

(Oral Mines-Ponts)
Montrer que les fonctions

{x\mapsto \cos(x)}

{x\mapsto \sin(x)}

{x\mapsto \cos(2x)}

{x\mapsto \sin(2x)}

{\ldots}

{x\mapsto \cos (nx)}

{x\mapsto \sin(nx)}

sont linéairement indépendantes.

➡️

Si AB=BA et B nilpotente, alors…

(Oral Centrale)
Soit

{A,B\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})}

, avec

{B}

nilpotente et

{AB=BA}

. Montrer l’équivalence :
(

{A}

inversible)

{\Leftrightarrow}

(

{A+B}

inversible).

➡️

Existence d’un supplémentaire commun

(Oral Centrale & Ccp)
Montrer que deux sous-espaces d’un espace

E

de dimension finie ont la même dimension si et seulement si ils admettent un supplémentaire commun.

➡️

Un espace d’applications linéaires

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{E,F}

deux

{\mathbb{C}}

-ev, où

{\dim(E)=n}

{\dim(F)=p}

, et

{f\in{\mathcal L}(E,F)}

. Préciser

{\dim(H)}

, où

{H=\{g\in{\mathcal L}(F,E),\;fgf=0\}}

➡️

Puissances d’une matrice

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{A=\small\begin{pmatrix}0 & a & a^{2}\\ 1/a & 0 & a \\ 1/a^{2}& 1/a & 0\end{pmatrix}}

. Calculer

{A^{n}}

pour

{n\in\mathbb{N}}

➡️

Matrices A,B telles que AB=A+B

(Oral Mines Telecom)
Soit

{A,B}

dans

{{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})}

avec

{AB=A+B}

. Montrer que

{AB=BA}

➡️

Matrices nilpotentes de même rang

(Oral Centrale)
Soient

{A,B\in {\mathcal M}_n(\mathbb{R})}

, de même rang, telles que

{A^k=B^k=0}

. Si

k=2

, montrer que

A,B

sont semblables. Et si

k=3

➡️

Image et noyaux imposés

(Oral Ccp)
Soient

{F,G}

deux sous-espaces d’un espace vectoriel

{E}

de dimension finie.
Condition pour que :

{\exists\, f\in \mathcal L(E),\; \text{Im} (f)=F,\;\text{Ker} (f)=G}

➡️

Recherche de sous-espaces stables

(Oral Ccp)
Soit

{u\in\mathcal{L}(\R^3)}

canoniquement relié à

{\begin{pmatrix}3&1&2\\1&1&0\\-1&1&2\end{pmatrix}}

Décrire les sous-espaces stables par

{u}

➡️

Le commutant de GLn(ℂ)

(Oral Centrale)
Déterminer les matrices

{A\in{\mathcal M}_n(\mathbb{C})}

telles que :

{\forall M\in\text{G}L_n(\mathbb{C}),\;AM=MA\}}

➡️

Une base de Cn[X]

(Oral Centrale)
On définit les polynômes

{P_k=(X-a)^k (X-b)^{n-k}}

, où

{a\ne b,\; 0\le k\le n}

.
Montrer qu’ils forment une base de

{\mathbb{C}_n[X]}

➡️

Trace de M → AMB

(Oral Ensam)
Soient

{A,B}

dans

{{\mathcal M}_n(\mathbb{C})}

.
Calculer la trace de

\Phi\colon M\mapsto AMB

➡️

Deux sommes directes

(Oral Centrale)
Soient

{f,g\in\mathcal{L}(E)}

, avec

\dim(E)\lt+\infty

{E=\text{Im} f+\text{Im} g=\text{Ker} f+\text{Ker} g}

.
Montrer que les deux sommes sont directes.

➡️

Racine de matrice nilpotente

(Oral Ensam)
Existe-t-il

{B\in{\mathcal M}_3(\mathbb{K})}

telle que

{B^2=\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0 \end{pmatrix}}

➡️

Rang et inégalités

(Oral Ensam)
Soient

{E}

{F}

deux espaces vectoriels de dimension finie et

{f,g\in{\mathcal L}(E,F)}

. Montrer que

{|\text{rg}(f)-\text{rg}(g)|\le\text{rg}(f + g)\le\text{rg}(f) + \text{rg}(g)}

➡️

Une forme linéaire sur IR[X]

(Oral Centrale)
Étude de la forme linéaire

S

définie sur

{\mathbb{R}[X]}

par

{S(P) =\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{P(k)}{k!}}

➡️

Moyenne de permutations

(Oral Centrale)
Soit

{(e_{1},e_{2},\ldots,e_{n})}

la base canonique de

{\mathbb{R}^{n}}

, et

S_n

l’ensemble des permutations de

[[1,n]]

.
Pour

{\sigma\in S_{n}}

soit

{f_{s}\in{\mathcal L}(\mathbb{R}^{n})}

définie par

{\forall i\in[[1,n]],\;f_{s}(e_{i})=e_{s(i)}}

.
Identifier

{p_{n}= \dfrac{1}{n!}\displaystyle\sum_{s\in S_{n}}f_{s}}

➡️