Commutant d'un nilpotent

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{E}

{\mathbb{K}}

-espace vectoriel de dimension

{n\in\mathbb{N}^{*}}

.
Soit

{u \in{\mathcal L}(E)}

tel que

{u^{n}=0}

{u^{n-1}\ne0}

Montrer qu’il existe ${x_{0}}$ tel que ${(x_{0},u(x_{0}),\ldots,u^{n-1}(x_{0}))}$ soit une base.
Déterminer la matrice représentative de ${u}$ dans cette base.
Déterminer les sous-espaces vectoriels de ${E}$ stables par ${u}$ .
Déterminer ${\mathcal{C}(u)\!=\!\{f\in {\mathcal L}(E),\,fu\!=\!uf\}}$ .
Quelle est la dimension de ${\mathcal{C}(u)}$ ?

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