(Oral Mines-Ponts)
Soit {E} un {\mathbb{K}}-espace vectoriel de dimension {n\in\mathbb{N}^{*}}.
Soit {u \in{\mathcal L}(E)} tel que {u^{n}=0} et {u^{n-1}\ne0}.
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Montrer qu’il existe {x_{0}} tel que {(x_{0},u(x_{0}),\ldots,u^{n-1}(x_{0}))} soit une base.
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Déterminer la matrice représentative de {u} dans cette base.
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Déterminer les sous-espaces vectoriels de {E} stables par {u}.
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Déterminer {\mathcal{C}(u)\!=\!\{f\in {\mathcal L}(E),\,fu\!=\!uf\}}.
Quelle est la dimension de {\mathcal{C}(u)}?
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