Algèbre linéaire
Exercices corrigés de Math Sup et Math Spé (posés aux concours Polytechnique, Ens, Mines-Ponts, Centrale, Ccp, etc.) sur le thème « Algèbre linéaire »

Réduction simultanée

(Oral Centrale)
Soit

{E}

un espace vectoriel de dimension finie, et

{f,g\in{\mathcal L}(E)}

tels que

{\begin{cases}f^{2}=g^{2}=\text{Id}_{E}\\fg+gf = 0\end{cases}}

On cherche une base où les matrices de

f

g

sont très simples.

➡️

Sommes de projecteurs

(Oral X-Cachan)
Dans cet exercice, on établit l’équivalence de conditions pour qu’une matrice carrée

A

puisse s’écrire comme la somme de

k

matrices de projections

A_1,A_2,\ldots,A_k

vérifiant les égalités

A_iA_j=0

pour tous

i\ne j

➡️

Forme linéaire, matrices semblables

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{\varphi}

une forme linéaire sur

{{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})}

.
1. Montrer :

{\exists\,!\,\,A,\;\forall\, M,\;\varphi(M)=\text{tr}(AM)}

2. On suppose :

{\forall M,\,\forall P \in \text{GL}_{n},\varphi(P^{-1}MP)=\varphi(M)}

\quad

Montrer :

{\exists\,\lambda\in\mathbb{C},\;\forall\, M,\;\varphi(M) = \lambda\,\text{tr}(M)}

➡️

Inversion d’une matrice

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{M=(m_{i,j})_{1\leq i,j\leq n+1}}

où

{m_{i,j}=0}

{j>i}

{m_{i,j}=\dbinom{i-1}{j-1}}

{j\leq i}

.
Calculer l’inverse

{M^{-1}}

de la matrice

M

➡️

Polygônes réguliers

((Oral X-Cachan)
Soit

\omega=\text{e}^{2i\pi/n}

{W_{n}= (\omega^{r(s-1)})}

dans

{{\mathcal{M}}_{n-2,n}(\mathbb{C})}

.
1. Déterminer le rang de

{W_{n}}

.
2. Donner une base de

{\text{Ker}(W_{n})}

.
3. Caractériser les polygones réguliers à

{n}

sommets de sens direct.

➡️

Pas de sev stable de dim ≥ 1

(Oral Mines-Ponts)
Soient

{E={\mathcal C}^0(\mathbb{R},\mathbb{R})}

{\Phi\in\mathcal{L}(E)}

défini par

{\Phi(f): x\mapsto \displaystyle\int_0^x f(t)\,\text{d}t}

. Montrer que

{\Phi}

ne stabilise aucun sous-espace de dimension finie

{n\ge1}

E

➡️

Hyperplans et matrices inversibles

Soit

H

un hyperplan quelconque de

{{\mathcal M}_n(\mathbb{K})}

.
Montrer que

H

contient au moins une matrice inversible.

➡️

Matrice de projecteur

(Oral Mines-Ponts)
Soient

{A\in{\mathcal M}_{3,2}(\mathbb{R})}

{B\in{\mathcal M}_{2,3}(\mathbb{R})}

.
On suppose que

{AB=\small\begin{pmatrix}0&-1&x\\-1&0&y\\-1&-1&z\end{pmatrix}}

.
Déterminer

{(x,y,z)}

pour que

{AB}

soit la matrice d’un projecteur.
Dans ce cas, déterminer

{BA}

➡️

Base de matrices de rang p

(Oral Centrale)
Soient

{n\in\,\mathbb{N}^*}

{p\in\{1,\ldots ,n\}}

. L’objectif de l’exercice est de montrer qu’il existe une base de

{\mathcal{M}_n(\mathbb{R})}

formée de matrices de rang

{p}

➡️