Réduction simultanée

(Oral Centrale)
Soit

{E}

un espace vectoriel de dimension finie.
Soient

{f,g}

dans

{{\mathcal L}(E)}

tels que

{f^{2}=g^{2}=\text{Id}_{E}}

{fg+gf = 0}

Montrer que la dimension de ${E}$ est paire. On pose ${\dim(E)=2n}$ .
Montrer qu’il existe une base de ${E}$ dans laquelle les matrices de ${f}$ et ${g}$ s’écrivent respectivement ${\begin{pmatrix}I_{n}&0_{n}\\0_{n}&-I_{n}\end{pmatrix}}$ et ${\begin{pmatrix}0_{n}&I_{n}\\ I_{n}&0_{n}\end{pmatrix}}$ .

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