Image, noyau, rang (1/3)
Exercices sur le thème « Image, noyau, rang d’une application linéaire » (1/3)
Algèbre linéaire
Matrices et applications linéaires
Exercices sur le thème « Matrices et applications linéaires »
Formes linéaires
Exercices sur le thème « formes linéaires ».
Applications linéaires en dim finie (3/3)
Exercices sur le thème « Applications linéaires en dimension finie » (3/3)
Applications linéaires en dim finie (2/3)
Exercices sur le thème « Applications linéaires en dimension finie » (2/3)
Applications linéaires en dim finie (1/3)
Exercices sur le thème « Applications linéaires en dimension finie » (1/3)
Applications linéaires (4/4)
Exercices sur le thème « applications linéaires » (4/4).
Applications linéaires (3/4)
Exercices sur le thème “applications linéaires” (3/4).
Applications linéaires (2/4)
Exercices sur le thème « applications linéaires » (2/4).
Applications linéaires (1/4)
Exercices sur le thème « applications linéaires » (1/4).
Espaces de dimension finie
Exercices sur le thème « Espaces vectoriels de dimension finie ».
Sommes de sous-espaces vectoriels
Exercices sur le thème « Sommes de sous-espaces vectoriels ».
Familles libres, génératrices, bases (2/2)
Exercices sur le thème « Familles libres, génératrices, bases » (2/2).
Familles libres, génératrices, bases (1/2)
Exercices sur le thème « Familles libres, génératrices, bases » (1/2).
Espaces et sous-espaces vectoriels
Exercices sur le thème « Espaces et sous-espaces vectoriels ».
Commutant d’un endo scindé simple
Soit {u\in\mathcal{L}(E)} (où {\dim(E)=n\ge1}) ayant {n} valeurs propres distinctes.
Soit {v\in\mathcal{L}(E)}. Montrer {uv=vu} si et seulement si {v} s’écrit {\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}a_{k}u^{k}}.
Soit {v\in\mathcal{L}(E)}. Montrer {uv=vu} si et seulement si {v} s’écrit {\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}a_{k}u^{k}}.
Valeurs propres de uv et de vu
Soit {u} et {v} deux endomorphismes d’un {\mathbb{K}}-espace vectoriel {E}.
Comparer les valeurs propres de uv et celles de vu.
Comparer les valeurs propres de uv et celles de vu.
Projecteurs de somme IdE
Soit {E} un {\mathbb{K}}-ev de dimension finie, et {p_1,\ldots,p_n} des projecteurs tels que {\sum_{j=1}^n p_j=\text{Id}_E}.
Montrer que {E=\displaystyle\bigoplus_{i=1}^{n}\text{Im}(p_i)}, et {i\ne j\Rightarrow p_i p_j=0}.
Montrer que {E=\displaystyle\bigoplus_{i=1}^{n}\text{Im}(p_i)}, et {i\ne j\Rightarrow p_i p_j=0}.
Pas de polynôme annulateur non nul
Montrer le seul polynôme annulateur de u,v,w (éléments de \mathcal{L}(\mathbb{K}[X]) est 0 :
{u(P)=P',\;v(P)=XP(X),\;w(P)=P(X\!+\!1)}
{u(P)=P',\;v(P)=XP(X),\;w(P)=P(X\!+\!1)}
Petit lemme des noyaux
Soit {f\in\mathcal{L}(E)} et {\alpha\ne\beta} dans {\mathbb{K}}. Montrer que:
{\begin{array}{l}\text{Ker}(f^2-(\alpha+\beta)f+\alpha\beta\text{Id})\\[3pts]\quad=\text{Ker}(f-\alpha\text{Id})\oplus\text{Ker}(f-\beta\text{Id})\end{array}}
{\begin{array}{l}\text{Ker}(f^2-(\alpha+\beta)f+\alpha\beta\text{Id})\\[3pts]\quad=\text{Ker}(f-\alpha\text{Id})\oplus\text{Ker}(f-\beta\text{Id})\end{array}}