Formes linéaires

Exercice 1.
Soit {f:E\rightarrow\mathbb{K}} une forme linéaire.
Montrer que {f} est identiquement nulle ou surjective.
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Exercice 2.
Montrer que deux formes linéaires non nulles ont même noyau si et seulement si elles sont proportionnelles.
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Exercice 3.
Dans {\mathbb{R}^n}, base et dimension de {H=\Big\{u=(x_1,x_2,\cdots,x_n), \displaystyle\sum_{k=1}^nx_k=0\Big\}}.
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Exercice 4.
Soit {E} un {\mathbb{K}-}espace vectoriel de dimension {3}.
Soit {g\in{\mathcal L}(E)}, tel que {g^2=0}.
Montrer : {\exists\,a\ne0\!\in\! E,\,\exists\,f\!\in\! E^*,\,\forall\, u\!\in\! E,\,g(u)\!=\!f(u)a}
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Exercice 5.
Soit {f_1,\ldots,f_p}, {p} formes linéaires indépendantes sur {\mathbb{K}^n}.
Soit {f} une forme linéaire sur {\mathbb{K}^n}.

  1. Montrer que {f} est combinaison linéaire de {f_1,f_2,\ldots,f_p} si et seulement si le noyau de {f} contient l’intersection des noyaux des {f_k}.
  2. Montrer que ce résultat reste vrai si {f_1,f_2,\ldots,f_p} sont liées.

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