Formes linéaires

Exercices corrigés


Exercice 1.
Soit {f:E\rightarrow\mathbb{K}} une forme linéaire.
Montrer que {f} est identiquement nulle ou surjective.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez : Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez : Mathprepa.fr est le site des mathématiques et de l'informatique des deux années des classes prépa scientifiques: plus de 2500 exercices et 200 problèmes (soigneusement corrigés), un cours complet (maths et info), plus de 400 sujets de concours, etc. Un contenu sans équivalent, dans une présentation fluide et professionnelle adaptée à tous les écrans, pour une souscription de 15€ (six mois), 25€ (un an) ou 35€ (deux ans).

Exercice 2.
Montrer que deux formes linéaires non nulles ont même noyau si et seulement si elles sont proportionnelles.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez : Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez : Mathprepa.fr est le site des mathématiques et de l'informatique des deux années des classes prépa scientifiques: plus de 2500 exercices et 200 problèmes (soigneusement corrigés), un cours complet (maths et info), plus de 400 sujets de concours, etc. Un contenu sans équivalent, dans une présentation fluide et professionnelle adaptée à tous les écrans, pour une souscription de 15€ (six mois), 25€ (un an) ou 35€ (deux ans).

Exercice 3.
Dans {\mathbb{R}^n}, base et dimension de {H=\Big\{u=(x_1,x_2,\cdots,x_n), \displaystyle\sum_{k=1}^nx_k=0\Big\}}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez : Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez : Mathprepa.fr est le site des mathématiques et de l'informatique des deux années des classes prépa scientifiques: plus de 2500 exercices et 200 problèmes (soigneusement corrigés), un cours complet (maths et info), plus de 400 sujets de concours, etc. Un contenu sans équivalent, dans une présentation fluide et professionnelle adaptée à tous les écrans, pour une souscription de 15€ (six mois), 25€ (un an) ou 35€ (deux ans).

Exercice 4.
Soit {E} un {\mathbb{K}-}espace vectoriel de dimension {3}.
Soit {g\in{\mathcal L}(E)}, tel que {g^2=0}.
Montrer : {\exists\,a\ne0\!\in\! E,\,\exists\,f\!\in\! E^*,\,\forall\, u\!\in\! E,\,g(u)\!=\!f(u)a}
Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez : Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez : Mathprepa.fr est le site des mathématiques et de l'informatique des deux années des classes prépa scientifiques: plus de 2500 exercices et 200 problèmes (soigneusement corrigés), un cours complet (maths et info), plus de 400 sujets de concours, etc. Un contenu sans équivalent, dans une présentation fluide et professionnelle adaptée à tous les écrans, pour une souscription de 15€ (six mois), 25€ (un an) ou 35€ (deux ans).

Exercice 5.
Soit {f_1,\ldots,f_p}, {p} formes linéaires indépendantes sur {\mathbb{K}^n}.
Soit {f} une forme linéaire sur {\mathbb{K}^n}.

  1. Montrer que {f} est combinaison linéaire de {f_1,f_2,\ldots,f_p} si et seulement si le noyau de {f} contient l’intersection des noyaux des {f_k}.
  2. Montrer que ce résultat reste vrai si {f_1,f_2,\ldots,f_p} sont liées.

Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez : Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez : Mathprepa.fr est le site des mathématiques et de l'informatique des deux années des classes prépa scientifiques: plus de 2500 exercices et 200 problèmes (soigneusement corrigés), un cours complet (maths et info), plus de 400 sujets de concours, etc. Un contenu sans équivalent, dans une présentation fluide et professionnelle adaptée à tous les écrans, pour une souscription de 15€ (six mois), 25€ (un an) ou 35€ (deux ans).