Formes linéaires

Exercices corrigés

Exercice 1.
Soit

{f:E\rightarrow\mathbb{K}}

une forme linéaire.
Montrer que

{f}

est identiquement nulle ou surjective.

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Exercice 2.
Montrer que deux formes linéaires non nulles ont même noyau si et seulement si elles sont proportionnelles.

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Exercice 3.
Dans

{\mathbb{R}^n}

, base et dimension de

{H=\Big\{u=(x_1,x_2,\cdots,x_n), \displaystyle\sum_{k=1}^nx_k=0\Big\}}

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Exercice 4.
Soit

{E}

{\mathbb{K}-}

espace vectoriel de dimension

{3}

.
Soit

{g\in{\mathcal L}(E)}

, tel que

{g^2=0}

.
Montrer :

{\exists\,a\ne0\!\in\! E,\,\exists\,f\!\in\! E^*,\,\forall\, u\!\in\! E,\,g(u)\!=\!f(u)a}

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Exercice 5.
Soit

{f_1,\ldots,f_p}

{p}

formes linéaires indépendantes sur

{\mathbb{K}^n}

.
Soit

{f}

une forme linéaire sur

{\mathbb{K}^n}

Montrer que ${f}$ est combinaison linéaire de ${f_1,f_2,\ldots,f_p}$ si et seulement si le noyau de ${f}$ contient l’intersection des noyaux des ${f_k}$ .
Montrer que ce résultat reste vrai si ${f_1,f_2,\ldots,f_p}$ sont liées.

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