Exercices corrigés
| Exercice 1. Soit {f\in\mathcal{L}(E)}, commutant avec tous les endomorphismes de {E}. Montrer que {f} est de la forme {\lambda\text{Id}}, avec {\lambda\in\mathbb{K}}. |
| Exercice 2. Soientt {E,F,G} trois espaces vectoriels sur {\mathbb{K}}, {f\in{\mathcal L}(E,G)} et {g\in{\mathcal L}(F,G)}. Montrer que {\text{Im} f\subset\text{Im} g\Leftrightarrow\exists\, h\in{\mathcal L}(E,F)} tel que {f=g\circ h}. |
| Exercice 3. Soientt {E,F,G} trois espaces vectoriels sur {\mathbb{K}}, {f\in{\mathcal L}(E,G)} et {g\in{\mathcal L}(E,F)}. Montrer que {\text{Ker} g\subset\text{Ker} f\Leftrightarrow\exists\, h\in{\mathcal L}(F,G)} tel que {f=h\circ g}. |
| Exercice 4. Soit {f\in\mathcal{L}(E)}, et deux scalaires {\alpha\ne\beta}. Montrer l’égalité : {\begin{array}{l}\text{Ker}(f^2-(\alpha+\beta)f+\alpha\beta\text{Id})\\\\\quad=\text{Ker}(f-\alpha\text{Id})\oplus\text{Ker}(f-\beta\text{Id})\end{array}} |
| Exercice 5. Soit {f} une application linéaire de {E} dans {F}. Montrer que si {u} est injective alors pour tous sous-espaces vectoriels {F} et {G} en somme directe, {f(F)} et {f(G)} sont en somme directe. Est-ce que la réciproque est vraie? |