Applications linéaires (4/4)

1. Montrer que {E=\text{Ker} f\oplus\text{Im} g}.
2. Montrer que {f(\text{Im} g)=\text{Im} f}.

On dit que {f,g} forment une suite exacte si {\text{Im} f=\text{Ker} g}.

On se donne les espaces vectoriels {E_k} et {F_k}, avec {k\in\{1,\ldots,5\}}.

On se donne les applications linéaires : {f_k:E_k\rightarrow E_{k+1}}, {g_k:E_k\rightarrow E_{k+1}} et {h_k:E_k\rightarrow F_{k}}
On suppose que les suites {f_k,f_{k+1}} et {g_k,g_{k+1}} sont exactes.

On suppose qu’on a les égalités {h_{k+1}\circ f_k=g_k\circ h_k}.

La situation est résumée dans le schéma ci-dessous :
{\small\begin{array}{ccccccccc} & f_1 & & f_2 & & f_3 & & f_4 \\E_1 & \rightarrow & E_2 & \rightarrow & E_3 & \rightarrow & E_4 & \rightarrow & E_5\\ \downarrow h_1 & & \downarrow h_2 & & \downarrow h_3 & & \downarrow h_4 && \downarrow h_5\\F_1 & \rightarrow & F_2 & \rightarrow & F_3& \rightarrow & F_4 & \rightarrow & F_5\\ & g_1 & & g_2 & & g_3 && g_4\end{array}}

1. Montrer que si {h_2,h_4} sont injectives et {h_1} est surjective alors {h_3} est injective.
2. Montrer que si {h_2,h_4} sont surjectives et {h_5} est injective, alors {h_3} est surjective.

1. Montrer l’équivalence : {\text{Im} f+\text{Ker} f=E\Leftrightarrow\text{Im} f=\text{Im} f^2}.
2. Montrer l’équivalence : {\text{Im} f\cap\text{Ker} f=\{0\}\Leftrightarrow\text{Ker} f=\text{Ker} f^2}.
3. On suppose que {E} est de dimension finie.
   Montrer les équivalences : {\begin{array}{rl}\text{Im} f=\text{Im} f^2 &\Leftrightarrow \text{Ker} f=\text{Ker} f^2 \\\\&\Leftrightarrow E=\text{Im} f\oplus\text{Ker} f\end{array}}

Soit {f\in \mathcal{L}(E)} tel que : {\exists\, P\in \mathbb{K}[X],\;P(f)=0,\;P(0)=0,\;P^{\prime }(0)\neq 0}Démontrer que {E=\text{Ker}(f)\oplus \text{Im}(f)}.