Exercices corrigés
| Exercice 1. Soit {E} un espace vectoriel de dimension {n\ge1}. Soit {f} un endomorphisme de {E} tel que {f^n=0} et {f^{n-1}\ne0}. Soit {x} un vecteur de {E} tel que {f^{n-1}(x)\ne0}. Montrer que la famille {x,f(x),\ldots,f^{n-1}(x)} est une base de {E}. |
| Exercice 2. Soit {f\in{\mathcal L}(E,F)} et {g\in{\mathcal L}(F,G)}, {E} étant de dimension finie. Montrer que {\dim(\text{Im} f\cap\text{Ker} g)=\dim\text{Im} f-\dim\text{Im}\,g f} |
| Exercice 3. Soit {f} et {g} deux endomorphismes de {E} (de dimension finie). On suppose que {E=\text{Im} f+\text{Im} g=\text{Ker} f+\text{Ker} g}. Montrer que ces deux sommes sont directes. Montrer que ce résultat n’est plus vrai si {\dim E=+\infty}. |
| Exercice 4. Montrer que {\varphi:P\to P+P'} est un automorphisme de {\mathbb{K}[X]}. En est-il de même avec {P\mapsto\psi_\lambda(P)=\lambda P-XP'}, où {\lambda\in\mathbb{R}}? |
| Exercice 5. Soit {E} un {\mathbb{K}}-espace vectoriel de dimension {n}. Soit {f} un endomorphisme de {E}.
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