Familles libres, génératrices, bases (1/2)

Exercices corrigés


Exercice 1.
Montrer que la famille {a=(9,-3,7)}, {b=(1,8,8)}, {c=(5,-5,1)} est liée.
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Exercice 2.
Peut-on déterminer {\lambda} et {\mu} dans {\mathbb{R}} tels que le vecteur {u=(-2,\lambda,\mu,3)} appartienne au sous-espace vectoriel de {\mathbb{R}^4} engendré par {a=(1,-1,1,2)} et {b=(-1,2,3,1)}?
Même question avec {u=(\lambda,1,\mu,1)}, {a=(1,2,3,4)}, et {b=(1,-2,3,-4)}.
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Exercice 3.
Dans l’espace vectoriel de toutes les fonctions de {\mathbb{R}} dans {\mathbb{R}}, montrer que la famille de fonctions {f_\lambda:x\mapsto\exp(\lambda x)} (avec {\lambda\in\mathbb{R}}) est libre.
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Exercice 4.
Montrer que la famille de fonctions {f_\lambda:x\mapsto \cos(\lambda x)} (avec {\lambda\in\mathbb{R}^+}) est libre.
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Exercice 5.
Soient {a,b,c} trois réels quelconques.
On définit {f_a:x\mapsto\sin(x+a)}, {f_b:x\mapsto\sin(x+b)} et {f_c:x\mapsto\sin(x+c)}.
Montrer que ces trois fonctions sont liées.
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