Sommes de sous-espaces vectoriels

Exercices corrigés

Exercice 1.
Montrer que dans l’espace vectoriel

{E}

de toutes les fonctions

{f}

{\mathbb{R}}

dans

{\mathbb{R}}

, les ensembles

{\mathcal P}

{\mathcal I}

formés respectivement des fonctions paires et impaires forment
deux sous-espaces vectoriels supplémentaires.

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Exercice 2.
Soient

{A,B,C,D}

quatre sous-espaces de

{E}

tels que

{E=A\oplus B=C\oplus D}

.
On suppose que

{A\subset C}

{B\subset D}

. Montrer que

{A=C}

{B=D}

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Exercice 3.
Soit

{E}

{\mathbb{K}}

-espace vectoriel.

Soient ${E_1}$ et ${E_2}$ deux sous-espaces de ${E}$ tels que ${E=E_1+E_2}$ , et soit ${F_2}$ un supplémentaire de ${E_1\cap E_2}$ dans ${E_2}$ .
Montrer que ${E=E_1\oplus F_2}$ .
Soient ${E_1,E_2,\ldots,E_n}$ des sous-espaces de ${E}$ tels que ${E=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}E_k}$ .
Montrer qu’il existe des sous-espaces ${F_1,F_2,\ldots,F_n}$ de ${E}$ tels que ${F_j\subset E_j}$ pour tout indice ${j}$ et tels que ${E=F_1\oplus F_2\oplus\cdots\oplus F_n}$ .

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