Espaces et sous-espaces vectoriels

Exercices corrigés


Exercice 1.
Soit {E} l’espace vectoriel des les fonctions {f\colon[0,1]\to\mathbb{R}}.
Les parties suivantes sont-elles des sous-espaces vectoriels de {E} ?

  1. {A=\{f\in E,2f(0)=f(1)\}}
  2. {B=\{f\in E,f(1)=f(0)+1\}}
  3. {C=\{f\in E,f\ge0\}}
  4. {D=\{f\in E,f(x)\equiv f(1-x)\}}
  5. {F=\{f\in E,f\;\text{polynôme de degré}\;4\}}
  6. {G=\{f\in E,f\;\text{polynôme de degré}\;\le4\}}

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Exercice 2.
Soient {F} et {G} deux sous-espaces vectoriels de {E}. Montrer que {F\cup G} est un sous-espace vectoriel de {E} si et seulement si {F\subset G} ou {G\subset F}.
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Exercice 3.
{A,B,C} sont des sous-espaces vectoriels de {E} tels que : {A\cap C\subset B,\;C\subset A+B\;\text{\ et\ }B\subset C}Montrer que {B=C}.
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