QCM (algèbre linéaire)
Un questionnaire à choix unique (pour chacune des 19 questions, une seule des 4 réponses proposées est correcte) sur le thème « Algèbre linéaire ».
Espaces vectoriels
Espaces de dimension finie
Exercices sur le thème « Espaces vectoriels de dimension finie ».
Sommes de sous-espaces vectoriels
Exercices sur le thème « Sommes de sous-espaces vectoriels ».
Familles libres, génératrices, bases (2/2)
Exercices sur le thème « Familles libres, génératrices, bases » (2/2).
Familles libres, génératrices, bases (1/2)
Exercices sur le thème « Familles libres, génératrices, bases » (1/2).
Espaces et sous-espaces vectoriels
Exercices sur le thème « Espaces et sous-espaces vectoriels ».
Une récurrence linéaire d’ordre 3
(Oral Ccp)
Étude des suites de \mathbb{C}^{\mathbb{N}} telles que \forall\, n\in\mathbb{N},\;4u_{n+3}=3u_{n+2}+6u_{n+1}+4u_{n}.
Étude des suites de \mathbb{C}^{\mathbb{N}} telles que \forall\, n\in\mathbb{N},\;4u_{n+3}=3u_{n+2}+6u_{n+1}+4u_{n}.
Une base de polynômes
(Oral Ccp)
Montrer que les {P_k=X^k(1-X)^{n-k}} (avec {0\le k\le n}) forment une base de {\mathbb{R}_n[X]}.
Exprimer {1,X,\cdots ,X^n} dans cette base.
Montrer que les {P_k=X^k(1-X)^{n-k}} (avec {0\le k\le n}) forment une base de {\mathbb{R}_n[X]}.
Exprimer {1,X,\cdots ,X^n} dans cette base.
Isomorphisme entre L(E) et E^n
(Oral Mines-Ponts)
Soit {E} un {\mathbb{K}}-espace vectoriel de dimension {n\in\mathbb{N}^{*}}. Soit {(e_{k})_{1\le k\le n}} dans {E}.
Soit {\varphi\colon{\mathcal L}(E)\rightarrow E^{n}} défini par {\varphi(u)=(u(e_{1}),\ldots,u(e_{n}))}. Montrer que {\varphi} est linéaire, et que c’est un isomorphisme si et seulement si {(e_{k})_{1\le k\le n}} est une base de {E}.
Soit {E} un {\mathbb{K}}-espace vectoriel de dimension {n\in\mathbb{N}^{*}}. Soit {(e_{k})_{1\le k\le n}} dans {E}.
Soit {\varphi\colon{\mathcal L}(E)\rightarrow E^{n}} défini par {\varphi(u)=(u(e_{1}),\ldots,u(e_{n}))}. Montrer que {\varphi} est linéaire, et que c’est un isomorphisme si et seulement si {(e_{k})_{1\le k\le n}} est une base de {E}.
Existence d’un supplémentaire commun
(Oral Centrale & Ccp)
Montrer que deux sous-espaces d’un espace E de dimension finie ont la même dimension si et seulement si ils admettent un supplémentaire commun.
Montrer que deux sous-espaces d’un espace E de dimension finie ont la même dimension si et seulement si ils admettent un supplémentaire commun.
Une base de Cn[X]
(Oral Centrale)
On définit les polynômes {P_k=(X-a)^k (X-b)^{n-k}}, où {a\ne b,\; 0\le k\le n}.
Montrer qu’ils forment une base de {\mathbb{C}_n[X]}.
On définit les polynômes {P_k=(X-a)^k (X-b)^{n-k}}, où {a\ne b,\; 0\le k\le n}.
Montrer qu’ils forment une base de {\mathbb{C}_n[X]}.
Deux sommes directes
(Oral Centrale)
Soient {f,g\in\mathcal{L}(E)}, avec \dim(E)\lt+\infty et {E=\text{Im} f+\text{Im} g=\text{Ker} f+\text{Ker} g}.
Montrer que les deux sommes sont directes.
Soient {f,g\in\mathcal{L}(E)}, avec \dim(E)\lt+\infty et {E=\text{Im} f+\text{Im} g=\text{Ker} f+\text{Ker} g}.
Montrer que les deux sommes sont directes.