Exercices corrigés
| Exercice 1. Soit {E} l’espace des fonctions de {\mathbb{R}} dans {\mathbb{R}}. On note {f_k:x\mapsto\left|x-k\right|}. Montrer que la famille {(f_1,f_2,\ldots,f_n)} est libre. |
| Exercice 2. Dans {\mathbb{K}[X]}, on se donne une suite de polynômes non nuls {(P_n)_{n\ge0}}. On suppose : {\forall n\in\mathbb{N},\;\deg P_n\lt \deg P_{n+1}}.
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| Exercice 3. Soit {u_1,\ldots,u_n} une famille de {n} vecteurs de {E}. On définit les vecteurs {v_k=u_1+\cdots+u_k}, pour {1\le k\le n}. Montrer que {(u)} est libre (resp. génératrice) \Leftrightarrow il en est de même de {(v)}. |
| Exercice 4. Soient {A,B} dans {\mathbb{K}[X]}, non constants, premiers entre eux. Soit {n} dans {\mathbb{N}}. On pose {P_k=A^kB^{\,n-k}}. Montrer que P_0,P_1,\ldots,P_n forment une famille libre. |
| Exercice 5. Soient {\alpha,\beta} deux scalaires distincts. Soit {n} un entier naturel. Pour tout {0\le k\le n}, on note {P_k=(X-\alpha)^k(X-\beta)^{n-k}}. Montrer que P_0,P_1,\ldots,P_n forment une base de {\mathbb{K}_n[X]}. |